Тема 3-4. Дифференцирование функции.

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует)

.

Если функция в точке имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция дифференцируемая в каждой точке промежутка , называется дифференцируемой на этом промежутке.

Геометрический смысл производной: производная есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, приведенной к кривой в точке .

Тогда уравнение касательной к кривой в точке примет вид

.

Механический смысл производной: производная пути по времени есть скорость точки в момент времени :

Экономический смысл производной: производная объема произведенной продукции по времени есть производительность труда в момент

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.

Производная функции может быть найдена по следующей схеме

1.Дадим аргументу приращение и найдем наращенное значение функции .

2.Находим приращение функции .

3.Составляем отношение .

4.Находим предел этого отношения при , то есть (если этот предел существует).

Правила дифференцирования

1. Производная постоянной величины равна нулю, то есть .

2. Производная аргумента равна 1, то есть .

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, то есть .

4.Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, то есть

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:

.

Теорема. Если и - дифференцируемые функции от своих переменных, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной , то есть

.

Теорема. Для дифференцируемой функции с производной не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, то есть .

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке функция достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть .

Теорема Ролля. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

3) на концах отрезка принимает равные значения, то есть .

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка , в которой производная функции равна нулю: .

Теорема Лагранжа. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям

1.Непрерывна на отрезке .

2.дифференцируема на интервале ;

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка , в которой производная равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке, то есть .

Теорема Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле. Итак, если имеется неопределенность вида или , то

Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:

где

Глоссарий

№ п/п	Новые понятия	Содержание
	Производная функции в точке	Предел отношения приращения функции к приращению аргумента при : .
2.	Основные правила дифференцирования	1. где с- постоянное число 2. где с- постоянное число 3. 4. 5.
3.	Производные основных элементарных функций	1. , где - действительное число; 2. , > 0, 3. , 4. 5. 6. 7. 8. 9. , 10. 11.
4.	Производная сложной функции	Если где тогда
5.	Производная обратной функции	Если , а - обратная функция, то
6.	Производная функции, заданной параметрическими уравнениями	Если то
7.	Дифференциал функции	где
8.	Экономический смысл производной	Производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.
9.	Формула Лагранжа	, где a<c<b
10.	Правило Лопиталя	если и или и