Тема 1-2 Введение в анализ. Функция. Предел и непрерывность.

Если каждому элементу множества ставится в соответствие вполне определенный элемент множества , то говорят что на множестве задана функция. При этом называется независимой переменной или аргументом, а - зависимой переменной, а буква обозначает закон соответствия.

Множество называется областью определения или существования функции, а множество – областью значений функции.

Существуют следующие способы задания функции

1. Аналитический способ, если функция задана формулой вида
2. Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие значения функции
3. Графический способ состоит в изображении графика функции – множества точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента , а ординаты – соответствующие им значения функции
4. Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления.

Основные свойства функции

1.Четность и нечетность. Функция называется четной, если для всех значений из области определения и нечетной, если . В противном случае функция называется функцией общего вида.

2.Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если большему значению аргумента из этого пролмежутка соответствует большее (меньшее)значение функции.

3.Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке , если существует такое положительное число , что для любого . В противном случае функция называется неограниченной.

4.Периодичность. Функция называется периодической с периодрм , если для любых из области определения функции .

Классификация функций.

1.Обратная функция. Пусть есть функция от независимой переменной , определенной на множестве с областью значений . Поставим в соответствие каждому единственное значение , при котором . Тогда полученная функция , определенная на множестве с областью значений называется обратной.

2.Сложная функция. Пусть функция есть функция от переменной , определенной на множестве с областью значений , а переменная в свою очередь является функцией.

1. Числовая последовательность

Если по некоторому закону каждому натуральному числу поставлено в соответствие вполне определенное число то говорят, что задана числовая последовательность .

:

Числа называются членами последовательности, а число - общим членом последовательности.

Число называется пределом числовой последовательности , если для любого малого числа найдется такой номер (зависящий от ), что для всех членов последовательности с номерами верно равенство .Предел числовой последовательности обозначается .

Последовательность имеющая предел называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Число называется пределом функции при , если для любого малого числа найдется такое положительное число , что для всех таких,что верно неравенство .

Предел функции в точке. Пусть функция задана в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки . Число называется пределом функции при , если для любого, даже сколь угодно малого , найдется такое положительное число (зависящий от ), что для всех и удовлетворяющих условию выполняется неравенство . Этот предел обозначается .

Функция называется бесконечно малой величиной при , если ее предел равен нулю.

Свойства бесконечно малых величин

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая

3. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

Глоссарий

№ п/п	Новые понятия	Содержание
	Функция	Правило, закон, по которому каждому значению из некоторого множества Х соответствует единственный элемент из множества У.
	Основные элементарные функции	1. Степенная , - действительное число; 2. Показательная , > 0, 3. Логарифмическая , > 0, 4. Тригонометрические ; 5. Обратные тригонометрические ,
	Формула сложных процентов	, где величина - множитель наращения сложных процентов
	Предел последовательности	Число А, к которому можно приблизиться с любой степенью точности при :
	Предел функции в точке	Число А есть предел функции в т. х0, если > 0, >0, такое, что для всех , удовлетворяющих условию < выполняется неравенство < и записывается
	Первый замечательный предел
	Второй замечательный предел	или
	Непрерывность функции в точке	Функция непрерывна в точке , если предел функции в точке равен значению функции в этой точке: