Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Методы интегрирования
Интегрирование по частям. Интегрирование подстановкой (замена переменной). Интегрирование по частям. Если функции u (x) и v (x) имеют непрерывные первые производные и существует интеграл v (x) du (x),то существует и интеграл u (x) dv (x) и имеет место равенство: u (x) dv (x) = u (x) • v (x) – v (x) du (x) или в более короткой форме: u dv = u v – v du.
Обратите внимание, что интегрирование по частям и дифференциал произведения являются взаимно обратными операциями (проверьте!).
Интегрирование подстановкой (замена переменной). Если функция f (z) определена и имеет первообразную при z Z, а функция z = g (x)имеет непрерывную производную при x X и её область значений g (X) Z, то функция F (x) = f [ g (x)] × g' (x) имеет первообразную на Х и F (x) dx = f [ g (x)] • g' (x) dx = f (z) dz.
Некоторые неопределённые интегралы от элементарных функций В последнем интеграле промежуток интегрирования не содержит x = 0.Ниже мы опускаем постоянную интегрирования C.
Определённый интеграл. Формула Ньютона – Лейбница
Криволинейная трапеция. Определённый интеграл. Пределы интегрирования. Подынтегральное выражение. Формула Ньютона – Лейбница.
Рассмотрим непрерывную функцию y = f (x), заданную на отрезке [ a, b ] и сохраняющую на этом отрезке свой знак (рис.8).
Если f – непрерывная, неотрицательная функция на отрезке [a, b], и F – её первообразная на этом отрезке, то площадь соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a, b], т.e. Рассмотрим функцию S (x), заданную на отрезке [ a, b ]. Если a<x b, то S (x) – площадь части криволинейной трапеции, лежащей слева от вертикальной прямой, проходящей через точку (x, 0). Отметим, что если x = a, то S (a) = 0, а S (b) = S (S – площадь всей криволинейной трапеции). Можно доказать, что т.e. S (x) – первообразная для f (x). Отсюда, согласно основному свойству первообразных, для всех x [ a, b ] имеем:
S (x) = F (x) + C,
где C – некоторая постоянная, F – одна из первообразных функции f. Чтобы найти C, подставим x = a:
F (a) + C = S (a) = 0,
отсюда, C = - F (a) и S (x) = F (x) - F (a). Так как площадь криволинейной трапеции равна S (b), то подставляя x = b, получим:
S = S (b) = F (b) - F (a).
П р и м е р. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y = x 2 и прямыми y = 0, x = 1, x = 2 (рис.9). Определённый интеграл. Рассмотрим другой способ вычисления площади криволинейной трапеции. Разделим отрезок [ a, b ] на n отрезков равной длины точками:
x 0 = a < x 1< x 2< x 3<…< x n - 1< xn = b и пусть = (b – a) / n = xk - xk - 1, где k = 1, 2, …, n – 1, n. В каждом из отрезков [ xk- 1, xk ] как на основании построим прямоугольник высотой f (xk - 1). Площадь этого прямоугольника равна: Числа a и b называются пределами интегрирования, f (x) dx – подынтегральным выражением. Итак, если f (x) 0 на отрезке [ a, b ], то площадь S соответствующей криволинейной трапеции вычисляется по формуле: Формула Ньютона - Лейбница. Сравнивая две формулы для площади криволинейной трапеции, приходим к следующему заключению: если F (x) - первообразная функции f (x) на отрезке [ a, b ], то
Это и есть знаменитая формула Ньютона – Лейбница. Она справедлива для любой функции f (x), непрерывной на отрезке [ a, b ]. Р е ш е н и е. Используя таблицу интегралов элементарных функций (см. выше), получим:
Основные свойства определённого интеграла Приложения определённого интеграла в геометрии и механике
Объём тела вращения. Работа переменной силы.
Определённый интеграл имеет многочисленные приложения в математике, механике, физике, астрономии, технике и других областях человеческой деятельности. Мы рассмотрим здесь только два примера,иллюстрирующие возможности этого аппарата.
Объём тела вращения. Рассмотрим тело, полученное вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f (x),прямыми x = a и x = b и осью OX (рис.10).
Объём V тела вращения будет равен: Работа переменной силы. Рассмотрим движение материальной точки вдоль оси OX под действием переменной силы f, зависящей от положения точки x на оси, т.e. силы, являющейся функцией x. Тогда работа A, необходимая для перемещения материальной точки из позиции x = a в позицию x = b вычисляется по формуле: П р и м е р. Найти объём усечённого конуса, образованного вращением прямой y = x + 1 вокруг оси OX и ограниченной линиями x = 0 и x = 3.
Р е ш е н и е. В соответствии с вышеприведенной формулой имеем:
Некоторые определённые интегралы
|