Аксиомы геометрии Евклида

Аксиома принадлежности. Аксиома порядка.

Аксиома равенства отрезков и углов.

Аксиома параллельных прямых.

Аксиома непрерывности (Архимеда).

Как мы уже отмечали выше, существует набор аксиом – свойств, которыерассматриваются в геометрии как основные и принимаются без доказательства. Теперь, после введения некоторых основных понятий и определений, мы можем рассматривать следующий достаточный набор аксиом, обычно используемых в планиметрии.

Аксиома принадлежности. Через любые две точки на плоскости можнопровести прямую и притом только одну.

Аксиома порядка. Среди любых трёх точек, лежащих на прямой, есть не более одной точки, лежащей между двух других.

Аксиома конгруэнтности (равенства) отрезков и углов. Если два отрезка (угла) конгруэнтны третьему, то они конгруэнтны между собой.

Аксиома параллельных прямых. Через любую точку, лежащую вне прямой, можно провести другую прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Аксиома непрерывности (аксиома Архимеда). Для любых двух отрезков AB и CD существует конечный набор точек A ₁ , A ₂ ,…, A_n, лежащих на прямой AB, таких, что отрезки AA ₁, A ₁ A ₂ ,…, A_{n -1} A_n конгруэнтны отрезку

CD, a точка B лежит между A и A_n.

Следует подчеркнуть, что замена одной из этих аксиом на другую, превращает её в теорему, уже требующую доказательства. Так, вместо аксиомы параллельных прямых можно использовать в качестве аксиомы свойство углов треугольника («сумма углов треугольника равна 180º»). Но тогда необходимо доказывать аксиому о параллельных прямых.

Многоугольник

Многоугольник. Вершины, углы, стороны и диагонали

многоугольника. Периметр многоугольника.

Простой многоугольник. Выпуклый многоугольник.

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника.

Плоская фигура, образованная замкнутой цепочкой отрезков, называется многоугольником. В зависимости от количества углов многоугольник может быть треугольником, четырёхугольником, пятиугольником, шестиугольником и т.д. На рис.17 показан шестиугольник ABCDEF. Точки А, В, C, D, E, F – вершины

многоугольника; углы A, B, C, D, E, F – углы многоугольника; отрезки AC, AD, BE и т.д. - диагонали; AB, BC, CD, DE,EF, FA – стороны многоугольника; сумма длин сторон AB + BC + … +FA называется периметром и обозначается p (иногда обозначают – 2 p, тогда p – полупериметр). В элементарной геометрии рассматриваютсятолько простые многоугольники, контуры которых не имеют самопересечений, как показано на рис.18. Если все диагонали лежат внутри многоугольника, он называется выпуклым. Шестиугольник на рис.17 выпуклый; пятиугольник ABCDE на рис.19 не выпуклый, так как его диагональ AD лежит снаружи. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 180º (n – 2), где n - число углов (или сторон) многоугольника.

Треугольник

Треугольник. Остроугольный, тупоугольный и прямоугольный треугольник.

Катеты и гипотенуза. Равнобедренный и равносторонний треугольник.

Основные свойства треугольников. Сумма углов треугольника.

Внешний угол треугольника. Признаки равенства треугольников.

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Замечательные линии и точки в треугольнике: высоты, медианы,

биссектрисы,срединныe перпендикуляры, ортоцентр,

центр тяжести, центр описанного круга, центр вписанного круга.

Теорема Пифагора. Соотношение сторон в произвольномтреугольнике.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.

Если все три угла острые (рис.20), то это остроугольный треугольник. Если один из углов прямой ( C, рис.21), то это прямоугольный треугольник; стороны a, b, образующие прямой угол, называются катетами; сторона c, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Если один из углов тупой ( B, рис.22), то это тупоугольный треугольник.

Треугольник ABC (рис.23) - равнобедренный, если две его стороны равны (a = c); эти равные стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием треугольника. Треугольник ABC (рис.24) – равносторонний, если все его стороны равны (a = b = c). В общем случае (a ≠ b ≠ c) имеем неравносторонний треугольник.

Основные свойства треугольников. В любом треугольнике:

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.

3. Сумма углов треугольника равна 180 º.