Арифметическая и геометрическая прогрессии

Числовая последовательность. Арифметическая прогрессия.

Разность прогрессии. Геометрическая прогрессия. Знаменатель

прогрессии. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Обращение периодической десятичной дроби в обыкновенную.

Последовательности. Рассмотрим ряд натуральных чисел:

1, 2, 3, …, n – 1, n, ….

Если заменить каждое число n в этом ряду некоторым числом u_n, следуянекоторому закону, мы получим новый ряд чисел:

u ₁, u ₂, u ₃,…, u _{n - 1}, u _n, …,

называемый числовой последовательностью. Число u_n называется общим членом числовой последовательности.

П р и м е р ы числовых последовательностей:

2, 4, 6, 8, 10, …, 2 n, …;

1, 4, 9, 16, 25, …, n ², …;

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …, 1/ n,….

Арифметическая прогрессия. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом d,называется арифметической прогрессией. Число d называется разностью прогрессии. Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

a_n = a ₁ + d (n – 1).

Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется как:

П р и м е р. Найти сумму первых ста нечётных чисел.

Р е ш е н и е. Применим последнюю формулу. Здесь a ₁ = 1, d = 2. Тогда

Геометрическая прогрессия. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число q, называется геометрической

прогрессией. Число q называется знаменателем прогрессии. Любой членгеометрической прогрессии вычисляется по формуле:

b_n = b ₁ q ^{n - 1}.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии вычисляется как:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Это геометрическая прогрессия, у которой | q | < 1. Для неё определяется понятие суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а именно: это число, к

которому неограниченно приближается сумма n первых членов рассматриваемой прогрессии при неограниченном возрастании числа n. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

П р и м е р. Найти сумму членов бесконечно убывающей геометрическойпрогрессии:

Р е ш е н и е. Применим последнюю формулу. Здесь b ₁ = 1, q = 1/2. Тогда:

Обращение периодической десятичной дроби в обыкновенную. Предположим, мы хотим обратить периодическую десятичную дробь 0.(3) в обыкновенную. Рассмотрим эту десятичную дробь в следующем виде:

Это бесконечно убывающая геометрическаяпрогрессия, первый член которой равен 3/10, а разность q = 1/10. В соответствии с выше приведенной формулой эта сумма равна:

Таким образом, 0.(3) = 1/3.

Урок 8. Планиметрия

Теория: Теоремы, аксиомы, определения. Прямая линия, луч, отрезок. Углы. Параллельные прямые. Аксиомы геометрии Евклида. Многоугольник. Треугольник. Параллелограмм и трапеция. Подобие плоских фигур. Признаки подобия треугольников. Геометрическое место точек. Круг и окружность. Вписанные и описанные многоугольники. Правильные многоугольники. Площади плоских фигур.

Задачи: Планиметрия.