Теоремы, аксиомы, определения

Доказательство. Теорема. Аксиома.

Начальные понятия. Определение.

Доказательство – рассуждение, устанавливающее какое-либо свойство.

Теорема – утверждение, устанавливающее некоторое свойство и требующее доказательства. Теоремы называются также леммами, свойствами, следствиями, правилами, признаками, утверждениями. Доказывая теорему, мы основываемся на ранее установленных свойствах; некоторые их них также являются теоремами. Однако некоторые свойства рассматриваются в геометрии как основные и принимаются без доказательств.

Аксиома – утверждение, устанавливающее некоторое свойство и принимаемое без доказательства. Аксиомы возникли из опыта, и опыт же проверяет их истинность в совокупности. Можно построить систему аксиом различными способами. Однако важно, чтобы принятый набор аксиом был минимальным и достаточным для доказательства всех остальных геометрических свойств. Заменяя в этом наборе одну аксиому другой, мы должны будем доказывать заменённую аксиому, так как она теперь уже не аксиома, а теорема.

Начальные понятия. В геометрии (и вообще, в математике) существуют понятия, которым невозможно дать сколько-нибудь осмысленное определение. Мы их принимаем как начальные понятия. Смысл этих понятий может быть установлен только на основании опыта. Так, понятия точки и прямой линии являются начальными. На основе начальных понятий мы можем дать определения всем остальным понятиям.

Прямая, луч, отрезок

Мысленно можно неограниченно продолжить прямую линию в обе стороны. Мы рассматриваем прямую как бесконечную. Прямая линия, ограниченная с одного конца и неограниченная с другого, называется лучом. Часть прямой, ограниченная с двух сторон, называется отрезком.

Углы

Угол. Стороны угла. Вершина угла.

Единицы измерения углов: радиан и градус.

Прямой, острый и тупой угол.

Взаимно перпендикулярные прямые.

Знаки углов. Смежные углы.

Вертикальные углы. Биссектриса угла.

Свойство биссектрисы угла.

Угол – это геометрическая фигура (рис.1), образованная двумя лучамиOA и OB (стороны угла), исходящими из одной точки O (вершина угла).

Угол обозначается символом и тремя буквами, обозначающими концылучей и вершину угла: AOB (причём, буква вершины – средняя). Углы измеряются величиной поворота луча ОА вокруг вершины O до тех пор, пока луч OA не переходит в положение OB. Широко применяются две единицы измерения углов: радиан и градус. О радианном измерении углов см. далее в пункте «Длина дуги», а также в главе «Тригонометрия».

Градусная система измерения углов. Здесь единицей измерения является градус (его обозначение °) – это поворот луча на 1 / 360 полного оборота.Таким образом, полный оборот луча равен 360º. Один градус делится на 60 минут (обозначение ‘); одна минута – соответственно на 60 секунд (обозначение “).Угол в 90° (рис.2) называется прямым; угол, меньший,чем 90° (рис.3), называется острым; угол, больший, чем 90° (рис.4), называется тупым.

Прямые линии, образующие прямой угол, называются взаимно перпендикулярными. Если прямые АВ и МK перпендикулярны, то это обозначается: AB MK.

Знаки углов. Угол считается положительным, если вращение выполняется против часовой стрелки, и отрицательным – в противном случае. Например, если луч OA смещается к лучу OB так, как показано на рис.2, то AOB = + 90 º; но на рис.5 AOB = – 90 º.

Смежные углы (рис.6) – это углы AOB и COB, имеющие общую вершину O и общую сторону OB; две другие стороны OA и OC являются продолжениями одна другой. Таким образом, сумма смежных углов равна 180°.

Вертикальные углы (рис.7) – это два угла с общей вершиной, у которыхстороны одного являются продолжениями сторон другого: AOB и COD (а также AOC и DOB) - вертикальные углы.

Биссектрисой угла называется луч, делящий угол пополам (рис.8).Биссектрисы вертикальных углов (OM и ON, рис.9) являются продолжениями одна другой. Биссектрисы смежных углов (OM и ON,рис.10) взаимно перпендикулярны.

Свойство биссектрисы угла: каждая точка биссектрисы угла находится на одинаковом расстоянии от сторон этого угла.

Параллельные прямые

Параллельные прямые. Расстояние между параллельными прямыми.
Углы с соответственно параллельными сторонами.

Соответственные углы.
Внутренние и внешние накрест лежащие углы.

Внутренние и внешние односторонние углы.

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами.
Пропорциональные отрезки. Теорема Фалеса.

Две прямые AB и CD (рис.11) называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их ни продолжать. Обозначение: AB|| CD. Все точки одной параллельной прямой находятся на одинаковом расстоянии от другой параллельной прямой. Все прямые, параллельные одной прямой, параллельны между собой. Принято считать, что угол между параллельными прямыми равен нулю. Угол между двумя параллельными лучами равен нулю, если у них одинаковые направления, и 180°, если их направления противоположны.Все перпендикуляры (AB, CD, EF, рис.12) к одной и той же прямой KM параллельны между собой. Обратно, прямая KM, перпендикулярная к одной из параллельных прямых, перпендикулярна и к остальным. Длинаотрезка перпендикуляра, заключённого между двумя параллельными прямыми, есть расстояние между ними.

При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образуются восемь углов (рис.13), которые попарно называются:

1) соответственные углы (1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8); эти углы попарно

равны: ( 1 = 5; 2 = 6; 3 = 7; 4 = 8);

2) внутренние накрест лежащие углы (4 и 5; 3 и 6); они попарно равны;

3) внешние накрест лежащие углы (1 и 8; 2 и 7); они попарно равны;

4) внутренние односторонние углы (3 и 5; 4 и 6); их сумма равна 180°

( 3 + 5 = 180°; 4 + 6 = 180°);

5) внешние односторонние углы (1 и 7; 2 и 8); их сумма равна 180°

( 1 + 7 = 180°; 2 + 8 = 180°).

Углы с соответственно параллельными сторонами либо равны друг другу (если они оба острые, или оба тупые, 1 = 2, рис.14), либо их сумма равна 180° ( 3 + 4 = 180°, рис.15).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами также либо равны друг другу (если они оба острые, или оба тупые), либо их сумма равна 180°.

Теорема Фалеса. При пересечении сторон угла параллельными прямыми (рис.16) стороны угла делятся на пропорциональные отрезки: