Математическая индукция

Пусть требуется доказать некоторое свойство (это может быть формула,тождество, неравенство, утверждение и т.д.), зависящее от натурального числа n. Если:

1) это свойство имеет место для некоторого натурального числа n ₀,

2) из условия справедливости этого свойства при n = k следует его

справедливость при n = k + 1 для любого k n ₀,

то тогда это свойство имеет место для любого натурального n n ₀.

П р и м е р 1. Доказать, что 1 + 3 + 5 +... + (2 n – 1) = n ².

Для доказательства применим метод математическойиндукции.

Очевидно, что при n = 1 данное равенство справедливо.Предположим,

что оно справедливо при некотором k, т.е. имеет место

1 + 3 + 5 +... + (2 k – 1) = k ².

Докажем, что тогда оно имеет место и при k + 1. Рассмотрим

соответствующую сумму при n = k + 1:

1 + 3 + 5 +... + (2 k – 1) + (2 k + 1) = k ² + (2 k + 1) = (k + 1) ².

Таким образом, из условия, что это равенство справедливо при

k вытекает, что оно справедливо и при k + 1, значит оно справедливо

при любом натуральном n,что и требовалось доказать.

П р и м е р 2. См. решение задачи 5.047.

П р и м е р 3. См. решение задачи 5.048.

Неравенства: общие сведения

Неравенство. Тождественное неравенство.

Строгие и нестрогие неравенства.

Решение неравенств и систем неравенств.

Основные свойства неравенств.

Некоторые важные неравенства.

Два выражения (числовые или буквенные), соединённые одним из знаков: «больше» (>), «меньше» (<), «больше или равно» (≥), «меньше или равно» (≤) образуют неравенство (числовое или буквенное). Любое справедливое неравенство называется тождественным. Например, тождественны следующие неравенства: 3 · 7 – 20 > 2 · 4 – 10, a ² ≥ 0, | – 5 | > 3. (Почему?)
В зависимости от знака неравенства мы имеем либо строгие неравенства (>, <), либо нестрогие (≥, ≤). Запись 5 a ≤ 4 b означает, что 5 a либо меньше 4, либо равно ему. Буквенные величины, входящие в неравенство, могут быть как известными, так и неизвестными.
Решить неравенство – значит найти границы, внутри которых должны находиться неизвестные, так чтобы неравенство было тождественным. Решить систему неравенств – значит найти границы, внутри которых должны находиться неизвестные, так чтобы все неравенства, входящие в систему, были тождественны одновременно.

Основные свойства неравенств.