Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Основные методы решения: подстановка, сложение или вычитание.

Определители второго порядка. Правило Крамера.

Исследование решений системыуравнений.

Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид:

где a, b, c, d, e, f – заданные числа; x, y – неизвестные. Числа a, b, d, e – коэффициенты при неизвестных; c, f – свободные члены. Решение этой системы уравнений может быть найдено двумя основными методами.

Метод подстановки.

1) Из одного уравнения выражаем одно из неизвестных, например x, через коэффициенты и другое неизвестное y:

x = (c – by) / a. (2)

2) Подставляем во второе уравнение вместо x:

d (c – by) / a + ey = f.

3) Решая последнее уравнение, находим y:

y = (af – cd) / (ae – bd).

4) Подставляем это значение вместо y в выражение (2):

x = (ce – bf) / (ae – bd).

П р и м е р. Решить систему уравнений:

Из первого уравнения выразим х через коэффициенты и y:

x = (2 y + 4) / 3.

Подставляем это выражение во второе уравнение и находим y:

(2 y + 4) / 3 + 3 y = 5,откуда y = 1.

Теперь находим х, подставляя найденное значение вместо y в

выражение для х: x = (2 · 1 + 4) / 3, откуда x = 2.

Сложение или вычитание. Этот метод состоит в следующем.

1) Умножаем обе части 1-го уравнения системы (1) на (– d), а обе части2-го уравнения на а и складываем их:

Отсюда получаем: y = (af – cd) / (ae – bd).

2) Подставляем найденное для y значение в любое уравнение системы (1):

ax + b(af – cd) / (ae – bd) = c.

3) Находим другое неизвестное: x = (ce – bf) / (ae – bd).

П р и м е р. Решить систему уравнений:

методом сложения или вычитания.

Умножаем первое уравнение на –1, второе – на 3 и складываем их:

отсюда y = 1. Подставляем это значение во второе уравнение

(а в первое можно?): 3 x + 9 = 15, отсюда x = 2.

Определители второго порядка. Мы видели, что формулы для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид:

x = (ce – bf) / (ae – bd),

(3)

y = (af – cd) / (ae – bd).

Эти формулы легко запоминаются, если ввести для их числителей и знаменателей следующий символ:

, который будет обозначать выражение: ps – qr.

Это выражение получается перекрёстным умножением чисел p, q, r, s:

и последующим вычитанием одного произведения из другого: ps – qr. Знак «+» берётся для произведения чисел, лежащих на диагонали, идущей из левого верхнего числа к правому нижнему; знак «–» - для другой диагонали, идущей из правого верхнего числа к левому нижнему.Например,

Выражение называется определителем второгопорядка.

Правило Крамера. Используя определители, можно переписать формулы (3):

Формулы (4) называются правилом Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

П р и м е р. Решить систему уравнений

используя правило Крамера.

Р е ш е н и е. Здесь a = 1, b = 1, c = 12, d = 2, e = – 3, f = 14.

Исследование решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, показывает, что в зависимости от коэффициентов уравнений возможны три различных случая:

1) коэффициенты при неизвестных не пропорциональны: a: d ≠ b: e,

в этом случае система линейных уравнений имеет единственное решение,получаемое по формулам (4);

2) все коэффициенты уравнений пропорциональны: a: d = b: e = c: f,

в этом случае система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, так как здесь мы имеем фактически одно уравнение вместо двух.

П р и м е р. В системе уравнений

и эта система уравнений имеет бесконечное множество решений.

Разделив первое уравнение на 2, а второе – на 3, мы получим два

одинаковых уравнения:

т.е. фактически одно уравнение с двумя неизвестными, у которого

бесконечное множество решений.

3) коэффициенты при неизвестных пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам: a: d = b: e ≠ c: f,

в этом случае система линейных уравнений не имеет решений, так как мы имеем противоречивые уравнения.

П р и м е р. В системе уравнений

но отношение свободных членов 7 / 12 не равно 1 / 3.

Почему эта система не имеет решений? Ответ очень простой.

Разделив второе уравнение на 3, мы получим:

Уравнения этой системы противоречивы, потому что одно и то

же выражение 2 x – 3 y не может быть одновременноравно и 7, и 4.

Системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными

Системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.

Основные методы решения: подстановка, сложение или вычитание.

Определители третьего порядка. Правило Крамера.

Системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными имеют вид:

где a, b, c, d, e, f, g, h, p, q, r, s – заданные числа; x, y, z – неизвестные. Числа a, b, c, e, f, g, p, q, r – коэффициенты при неизвестных; d, h, s – свободные члены. Решение этой системы может быть найдено теми же двумя основными методами, рассмотренными выше: подстановки и сложения или вычитания. Мы же рассмотрим здесь подробно только метод Крамера.