Иррациональные числа. Формула сложного радикала

Рациональные числа. Иррациональные числа.
Примеры иррациональных чисел.
Формула сложного радикала.

Иррациональные числа в отличие от рациональных (см. “Рациональные числа”) не могут быть представлены в виде обыкновенной несократимой дроби вида: m / n, где m и n – целые числа. Это числа нового типа, которые могут быть вычислены с любой точностью, но не могут быть заменены рациональным числом. Они могут появиться как результат геометрических измерений, например:

- отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны равно ,

- отношение длины окружности к длине её диаметра равно иррациональному числу

Примеры других иррациональных чисел:

Докажем, что является иррациональным числом. Предположим противное: - рационально е число, тогда согласно определению рационального числа можно записать: = m / n,отсюда: 2 = m ² / n ², или m ²= 2 n ², то есть m ² делится на 2, следовательно, m делится на 2, откуда m = 2 k, тогда m ²= 4 k ² или 4 k ² = 2 n ², то есть n ²= 2 k ², то есть n ² делится на 2, а значит, n делится на 2, следовательно, m и n имеют общий множитель 2, что противоречит определению рационального числа (см. выше). Таким образом, доказано, что является иррациональным числом.

При алгебраических преобразованиях иррациональных выражений и уравнений, содержащих квадратные корни, может быть полезна следующая формула сложного радикала: