Урок 3. Алгебраические уравнения

Теория: Уравнения: общие сведения. Основные методы решения уравнений. Линейные уравнения с одним неизвестным. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Степени и корни. Арифметический корень. Иррациональные числа. Формула сложного радикала. Квадратное уравнение. Мнимые и комплексные числа. Решение квадратного уравнения. Свойства корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Разложение на множители квадратного трёхчлена. Уравнения высших степеней.

Задачи: Алгебраические уравнения.

Уравнения: общие сведения

Равенство. Тождество. Уравнение.

Неизвестные. Корни уравнения.

Решение уравнения. Равносильныеуравнения.

Если два выражения (числовые и / или буквенные), соединены знаком «=», то говорят, что они образуют равенство. Любое верное числовое равенство, а также любое буквенное равенство, справедливое при всех допустимых числовых значениях входящих в него букв, называется тождеством.

П р и м е р ы: 1) Числовое равенство 4 · 7 + 2 = 30 есть тождество.

2) Буквенное равенство (a + b)(a – b) = a ² – b ² есть

тождество, потому что оно справедливо при всех

значениях содержащихся в нём букв.

Уравнение – это буквенное равенство, которое справедливо (т.е. становится тождеством) только при некоторых значениях входящих в него букв. Эти буквы называются неизвестными, а их значения, при которых данное уравнение обращается в тождество – корнями уравнения. Процедура нахождения всех корней уравнения называется решением. Решить уравнение – значит найти все его корни. Подстановка любого корня вместонеизвестного обращает уравнение в верное числовое равенство (тождество). Два или несколько уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же корни.

П р и м е р. Уравнения 5 x – 25= 0 и 2 x – 7 = 3 являются равносильными,

так как они имеют один и тот же корень: x =5.