Интерференция и дифракция волн

Интерференция – это наложение двух или нескольких волн, приводящее к устойчивому во времени усилению колебаний в одних точках пространства и ослаблению – в других.

Интерферировать могут только когерентные волны – это волны, имеющие одинаковую частоту и постоянную во времени разность фаз. Амплитуда результирующего колебания равна нулю в тех точках пространства, в которые волны с одинаковыми амплитудами и частотой приходят со сдвигом по фазе колебаний на p или на половину периода колебаний. При одинаковом законе колебаний двух источников волн различие на половину периода колебаний будет при условии, что разность Dl (разность хода интерферирующих волн) расстояний l₁ и l₂ от источников волн до этой точки равна половине длины волны:

или нечетному числу полуволн (рис. 84, а):

.

Это условие интерференционного минимума.

Интерференционные максимумы наблюдаются в точках пространства, в которые волны приходят с одинаковой фазой колебаний (рис. 84, б). При одинаковом законе колебаний двух источников для выполнения этого условия разность хода Dl должна равняться целому числу волн:

.

Куда исчезает энергия двух волн в местах интерференционных минимумов? Если рассматривать только одно место встречи двух волн, то на такой вопрос нельзя дать правильный ответ. Распространение волн не является совокупностью независимых процессов колебаний в отдельных точках пространства. Сущность волнового процесса заключается в передаче энергии колебаний от одной точки пространства к другой и т.д. При интерференции волн в местах интерференционных минимумов энергия результирующих колебаний действительно меньше суммы энергий двух интерферирующих волн. Зато в местах интерференционных максимумов энергия результирующих колебаний превышает сумму энергий интерферирующих волн ровно на столько, на сколько уменьшилась энергия в местах интерференционных минимумов. При интерференции волн энергия колебаний перераспределяется в пространстве, но при этом закон сохранения энергии выполняется.

Отклонение направления распространения волн от прямолинейного у границы преграды называется дифракцией волн. Дифракция волн происходит при встрече с преградой любой формы и любых размеров. Обычно при больших по сравнению с длиной волны размерах препятствия или отверстия в преграде дифракция волн мало заметна. Наиболее отчетливо дифракция проявляется при прохождении волн через отверстие с размерами порядка длины волны или при встрече с препятствиями таких же размеров. При достаточно больших расстояниях между источником волн, преградой и местом наблюдения волн дифракционные явления могут иметь место и при больших размерах отверстия или преграды.

Причиной дифракции является интерференция. Это объясняется принципом Гюйгенса-Френеля: каждая точка среды, до которой дошла волна, становится источником вторичных волн, которые интерферируют в следующих точках пространства.

Стоячие волны

Пусть волна бежит вдоль оси абсцисс, доходит до препятствия, расположенного в начале координат, и без потерь энергии начинает двигаться вдоль оси абсцисс справа налево, встречаясь и складываясь с волной, бегущей слева направо. Здесь возможны два случая.

1) Волна отражается в точке О в той же фазе, в которой она к ней пришла (рис. 85, а). В этом случае уравнение бегущей слева направо волны имеет вид

,

а для отраженной волны уравнение запишется так:

.

Сложив оба уравнения, получим:

.

Преобразовав сумму косинусов в произведение, получим

.

Здесь величина не зависит от времени, следовательно, это амплитуда нового колебания всех точек волны. Выражение же, стоящее под знаком косинуса во втором множителе, не зависит от координаты.

Итак, в результате сложения бегущей и отраженной волн мы получили новую волну, у которой фаза не зависит от координаты, зато от координаты зависит амплитуда колебаний. Такая волна называется стоячей волной.

У стоячей волны есть точки, где амплитуда колебаний равна нулю. Эти точки называются узлами стоячей волны (рис. 85, б). Найдем их координаты, полагая .

Но косинус равен нулю, если его аргумент равен нечетному числу p/2, следовательно

,

откуда получаем, что координаты узлов определяются из условия

.

У стоячей волны есть такие точки, где амплитуда стоячей волны вдвое больше амплитуды бегущей волны. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Очевидно, что мы получим координаты пучностей, положив , для чего необходимо, чтобы выполнялось условие

,

откуда следует, что координаты пучностей удовлетворяют соотношению:

.

2) Волна отражается в точке О в противоположной фазе по сравнению с бегущей волной (рис. 86). В этом случае уравнение волны, бегущей слева направо, запишется в прежнем виде, а уравнение отраженной волны примет вид:

.

Сложив оба уравнения волны, получим вновь уравнение стоячей волны, в чем читатель сам легко убедится. Но амплитуда стоячей волны в этом случае будет иметь вид:

.

Нетрудно отсюда получить, что в данном случае вместо узлов возникнут пучности, а вместо пучностей – узлы стоячей волны.

Звуковые волны

Раздел физики, занимающийся изучением звуковых явлений, называется акустикой, а явления, связанные с возникновением и распространением звуковых волн – акустическими явлениями.

Процесс распространения сжатия или разряжения в газе происходит в результате столкновений молекул газа, поэтому скорость звука в газе примерно равна скорости движения молекул. Средняя скорость теплового движения молекул уменьшается с понижением температуры газа, поэтому уменьшается с понижением температуры газа и скорость распространения звука. Например, в водороде при понижении температуры от 300 до 17 К скорость звука уменьшается от 1300 до 320 м/с. По современным измерениям скорость звука в воздухе при нормальных условиях равна 331 м/с.

Связь между атомами и молекулами в жидкостях и твердых телах значительно более жесткая, чем в газах. Поэтому скорость распространения звуковых волн в жидкостях и твердых телах значительно больше скорости звука в газах. Так скорость звука в воде равна 1500 м/с, а в стали – 6000 м/с.

Любые звуки человек характеризует в соответствии со своим восприятием по уровню громкости.

Сила воздействия звуковой волны на барабанную перепонку человеческого уха зависит от звукового давления. Звуковое давление – это дополнительное давление, возникающее в газе или жидкости при прохождении звуковой волны. Нижняя граница ощущения звука человеческим ухом соответствует звуковому давлению примерно 10^-5 Па. Верхняя граница звукового давления, при достижении которой возникает ощущение боли в ушах, равна примерно 100 Па. Звуковые волны с большой амплитудой изменения звукового давления воспринимаются человеческим ухом как громкие звуки, с малой амплитудой изменения звукового давления – как тихие звуки.

Звуковые колебания, происходящие по гармоническому закону, воспринимаются человеком как определенный музыкальный тон. Колебания высокой частоты воспринимаются как звуки высокого тона, звуки низкой частоты – как звуки низкого тона. Диапазон звуковых колебаний, соответствующий изменению частоты звуковых колебаний в два раза, называется октавой.

Звуковые колебания, не подчиняющиеся гармоническому закону, воспринимаются человеком как сложный звук, обладающий тембром. При одной высоте тона звуки, издаваемые, например, скрипкой и пианино, отличаются тембром.

Диапазон частот звуковых колебаний, воспринимаемых человеческим ухом, лежит в пределах примерно от 20 до 20000 Гц. Продольные волны в среде с частотой изменения давления менее 20 Гц называются инфразвуком, с частотой более 20000 Гц – ультразвуком.

Ультразвук действует на биологические объекты. При малых интенсивностях он активизирует процессы обмена, повышает проницаемость клеточных мембран, производит микромассаж тканей. При больших интенсивностях разрушает эритроциты, вызывает нарушение функций и гибель микроорганизмов, мелких животных. Разрушая ультразвуком оболочки растительных и животных клеток, извлекают из них биологически активные вещества (ферменты, токсины). В хирургии ультразвук используется для разрушения злокачественных опухолей, распиливания костей и т.д.

Ультразвук издают и воспринимают многие животные. Например, собаки, кошки, мыши слышат ультразвуки с частотой до 100 кГц. Чувствительны к ним и многие насекомые. Некоторые животные используют ультразвук для ориентации в пространстве (ультразвуковая локация). Летучая мышь периодически испускает короткие ультразвуковые сигналы (30-120 кГц) в направлении полета. Улавливая отраженные от предметов сигналы, животное определяет положение предмета и оценивает расстояние до него. Этот способ локации используют также дельфины, которые свободно ориентируются в мутной воде, в темноте. Использование для эхолокации именно ультразвука вполне естественно. Чем меньше длина волны излучения, тем более мелкими могут быть объекты, которые необходимо опознать. В данном случае линейные размеры объекта должны быть больше или, по крайней мере, порядка длины волны звука. Так частоте 80 кГц отвечает длина волны равная 4 мм. Кроме того, с уменьшением длины волны легче реализуется направленность излучения, а это очень важно для эхолокации.

Человек использует ультразвуковую локацию для изучения рельефа морского дна, обнаружения косяков рыбы, айсбергов. В медицине ультразвуковая диагностика применяется, например, для определения опухолей на внутренних органах.

Инфразвуки – низкочастотные упругие волны – сопровождают человека в повседневной жизни. Мощными источниками инфразвука являются грозовые разряды (гром), орудийные выстрелы, взрывы, обвалы, штормы, работа машин, городской транспорт. Постоянно действующие мощные инфразвуки определенных частот (3-10 Гц) вредны для здоровья человека, они могут вызвать ухудшение зрения, нервные расстройства, резонансные колебания внутренних органов, потерю памяти.

Особенность инфразвуков – слабое поглощение их веществом, Поэтому они легко проходят сквозь препятствия и могут распространяться на очень большие расстояния. Это позволяет, например, предсказать приближение стихийного бедствия – шторма, цунами. Многие рыбы, морские млекопитающие и птицы, по-видимому, воспринимают инфразвуки, так как реагируют на приближение шторма.

Звуковые волны, встречаясь с любым телом, вызывают вынужденные колебания. Если частота собственных свободных колебаний тела совпадает с частотой звуковой волны, то условия для передачи энергии от звуковой волны телу оказываются наилучшими – тело является акустическим резонатором. Амплитуда вынужденных колебаний при этом достигает максимального значения – наблюдается акустический резонанс.

Акустическими резонаторами являются, например, трубы духовых инструментов. В этом случае в качестве тела, испытывающего резонансное колебание, выступает воздух в трубе. Способность уха различать звуки по высоте и тембру связана с резонансными явлениями, происходящими в основной мембране. Действуя на основную мембрану, звуковая волна вызывает в ней резонансные колебания определенных волокон, собственная частота которых соответствует частотам гармонического спектра данного колебания. Нервные клетки, связанные с этими волокнами, возбуждаются и посылают нервные импульсы в центральный отдел слухового анализатора, где они, суммируясь, вызывают ощущение высоты и тембра звука.

Световые волны

В световой волне совершают быстрые (n=10¹⁴ Гц) непрерывные колебания векторы напряженности электрического поля и индукции магнитного поля. Их колебания взаимосвязаны и происходят в направлениях, перпендикулярных лучу (световая волна – поперечная), причем так, что векторы напряженности и индукции взаимно перпендикулярны (рис. 87).

Как показывают опыты, действие света на глаз и другие приемники обусловлено колебаниями электрического вектора , называемого, поэтому, световым. Для плоской синусоидальной волны, распространяющейся со скоростью u в направлении r, колебания светового вектора описываются уравнением

.

Свет, имеющий определенную частоту (или длину волны), называется монохроматическим. Если колебания светового вектора происходят только в одной проходящей через луч плоскости, то свет называют плоскополяризованным. Естественный свет содержит колебания по всем направлениям.

При переходе света из одной среды в другую его частота остается неизменной, а соответствующая ей длина волны меняется, т.к. скорость света в разных средах различна. Скорость света в вакууме с=3•10⁸ м/с.

Когерентные световые волны (как и волны любой другой природы) интерферируют. Причем независимые источники света (за исключением лазеров) не могут быть когерентными, ибо в каждом из них свет испускается множеством атомов, излучающих несогласованно. Когерентность можно обеспечить, разделив волну от одного источника на две части и затем сведя их вместе. Излученные одной группой атомов, полученные таким образом две волны будут когерентны и при наложении могут интерферировать. На практике разделение одной волны на две можно осуществить разными способами. В установке, предложенной Т.Юнгом, белый свет проходит через узкое отверстие S (рис. 88, а), затем с помощью двух отверстий S₁ и S₂ пучок разделяется на два. Эти два пучка, накладываясь друг на друга, образуют в центре экрана белую полосу, а по краям – радужные.Интерференцией света объясняется окраска мыльных пузырей и тонких масляных пленок на воде. Световые волны частично отражаются от поверхности тонкой пленки, частично проходят в нее. На второй границе пленки вновь происходит отражение волн (рис. 88, б). Световые волны, отраженные двумя поверхностями тонкой пленки, распространяются в одном направлении, но проходят разные пути. При разности хода, кратной целому числу длин волн:

,

наблюдается интерференционный максимум.

При разности, кратной нечетному числу полуволн:

,

наблюдается интерференционный минимум. Когда выполняется условие максимума для одной длины световой волны, то оно не выполняется для других длин волн. Поэтому освещаемая белым светом тонкая бесцветная прозрачная пленка кажется окрашенной. При изменении толщины пленки или угла падения световых волн разность хода изменяется, и условие максимума выполняется для света с другой длиной волны.

Яркую, переливающуюся всеми цветами радуги окраску некоторых раковин (перламутр), перьев птиц, на поверхности которых расположены тончайшие, незаметные для глаза прозрачные чешуйки, также можно объяснить интерференцией.

Интерференционные методы нашли широкое применение в ряде областей науки и техники. Картина интерференции очень чувствительна к факторам, изменяющим разность хода лучей. На этом основано высокоточное измерение длин, плотностей, показателей преломления, качества полировки поверхностей и т.д. Одно из применений – просветление оптики. Для уменьшения света, отраженного поверхностями стеклянных оптических приборов (например, линз), на эти поверхности наносится специальная прозрачная тончайшая пленка. Толщина ее подбирается так, чтобы отражающиеся от обеих поверхностей лучи определенной длины волны в основном гасились за счет интерференции. Без пленки на каждой линзе теряется до 10% энергии света.

Явление отклонения света от прямолинейного направления распространения при прохождении у края преграды называется дифракцией света. Вследствие малой длины волны света, дифракционная картина четкая, если преграды или отверстия имеют малый размер (сравнимый с длиной волны). Дифракция света всегда сопровождается интерференцией (принцип Гюйгенса-Френеля). На основании этого можно получить при освещении непрозрачного диска на экране в центре его тени светлое пятно, а от круглого отверстия – в центре темное пятно. Картина дифракции в белом свете – цветная.

Явление дифракции света используется в спектральных приборах. Одним из основных элементов таких приборов является дифракционная решетка. Дифракционная решетка представляет собой совокупность параллельных узких прозрачных для света щелей, разделенных непрозрачными промежутками (рис. 89). Лучшие решетки имеют до 2000 штрихов на 1 мм поверхности. При этом общая длина решетки 100-150 мм. Такие решетки обычно получают нанесением на стеклянную пластину с помощью специальных машин ряда параллельных штрихов – царапин. Неповрежденные участки играют роль щелей, а царапины, рассеивающие свет, играют роль непрозрачных промежутков. Если непрозрачные штрихи (царапины) нанести на полированную металлическую поверхность, то получится так называемая отражательная дифракционная решетка. Сумма с ширины а щели и промежутка b между щелями называется периодом или постоянной решетки:

.

Рассмотрим основные моменты элементарной теории дифракционной решетки. Пусть на решетку падает плоская монохроматическая волна длины l (рис. 90). Вторичные источники в щелях создают световые волны, распространяющиеся по всем направлениям. Найдем условие, при котором идущие от щелей волны усиливают друг друга. Рассмотрим для этого волны, распространяющиеся в направлении, определяемом углом j. Разность хода между волнами от краев соседних щелей равна длине отрезка АС. Если на этом отрезке укладывается целое число длин волн, то волны от всех щелей, складываясь, будут усиливать друг друга. Из треугольника АВС можно найти длину катета АС:

.

Максимумы будут наблюдаться под углом j, определяемым условием

,

где k =0, 1, 2,… Эти максимумы называются главными.

Нужно иметь в виду, что при выполнении условия максимумов усиливаются не только волны, идущие от левых (по рисунку) краев щелей, но и волны, идущие от всех других точек щелей. Каждой точке в первой щели соответствует точка во второй щели на расстоянии с. Поэтому разность хода испущенных этими точками вторичных волн равна , и эти волны взаимно усиливаются.

За решеткой помещается собирающая линза, в фокальной плоскости которой расположен экран. Линза фокусирует лучи, идущие параллельно, в одной точке, в которой и происходит сложение волн и их взаимное усиление.

Так как положение максимумов (кроме центрального, соответствующего k =0) зависит от длины волны, то решетка разлагает белый свет в спектр (рис. 91). Чем больше l, тем дальше располагается тот или иной максимум, соответствующий данной длине волны, от центрального максимума. Каждому значению k соответствует свой спектр.

С помощью дифракционной решетки можно производить очень точные измерения длины волны. Если период решетки известен, то определение длины волны сводится к измерению угла j, соответствующего направлению на максимум.

Если рассматривать под микроскопом крылья бабочек, то можно заметить, что они состоят из большого числа элементов, размер которых имеет порядок величины длины волны видимого света. Таким образом, крыло бабочки представляет собой своеобразную дифракционную решетку. Радужная полоска видна и в глазах стрекоз и других насекомых. Она образуется благодаря тому, что их сложные глаза состоят из большого числа отдельных «глазков» – фасеток, т.е. тоже являются «живыми» дифракционными решетками.

Глава 9