Пример выполнения заданий по теме 1

Задание 1.1. Выполнить действия над матрицами: B· (A + 3 B) – A· (A – B), где

А = ; B = .

Решение.

1). 3 B = 3 · = = .

2). A + 3 B = + = = .

3). B· (A + 3 B) = · =

= = = = .

4). A – B = – = = .

5). A· (A – B) = · = = =

= = .

6). B· (A + 3 B) – A· (A – B) = – = = = .

Ответ: B· (A + 3 B) – A· (A – B) =

Задание 1.2. Дана система линейных уравнений:

1. Решить систему по формулам Крамера;

2. Решить систему с помощью обратной матрицы.

Решение.

1. Воспользуемся формулами Крамера: x = , где j = 1; 2; 3.

D = det A, а D _j – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца j столбцом свободных членов. Тогда

D = = (5·2·2 + 1·3· (– 1) + (– 1) ·3·4) – (4·2·(–1) + 3·3·5 + 1· (–1) ·2) =

= (20 – 3 – 12) – (–8 + 45 – 2) = 5 – 35 = – 30;

D₁ = = (0·2·2 + 14·3·(– 1) + (–1)·3·16) – (16·2·(–1) + 0·3·3 + 14 ×

× (–1) ·2) = (0 – 42 – 48) – (–32 + 0 – 28) = –90 – (– 60) = – 30;

D₂ = = (5·14·2 + 1·16·(– 1) + 0·3·4) – (4·14·(–1) + 5·16·3 + 1·0·2) =

= (140 – 16 + 0) – (– 56 + 240 + 0) = 124 – 184 = – 60;

D₃ = = (5·2·16 + 1·3·0 + (–1) ·14·4) – (0· 2·4 + 5·3·14 + 1· (– 1) ·16) =

= (160 + 0 – 56) – (0 + 210 – 16) = 104 – 194 = –90.

Тогда x = 1, x = 2, x = 3.

Ответ: x = 1; x = 2; x = 3.

2. Запишем матрицу системы A = , столбец неизвестных

X = , столбец свободных членов B = . Определитель матрицы A равен = – 30 0. Тогда решение системы линейных уравнений определяется по формуле X = A ·B. Для нахождения A воспользуемся формулой: A = . Для нахождения A cоставим для матрицы A транспонированную матрицу A = и найдем элементы союзной матрицы A , как алгебраические дополнения элементов матрицы A .

A = (–1) .

Тогда: A = (–1) M = = 2·2 – 3·3 = – 5,

A = (–1) M = – = –(–1·2 – (–1)·3) = – (– 2 + 3) = – 1,

A = (–1) M = = (–1)·3 – (–1)·2 = – 3 + 2 = – 1,

A = – = –(1·2 – 3·4) = – (2 – 12) = – (–10) = 10,

A = = 5·2 – 4·(–1) = 10 + 4 = 14,

A = – = –(5·3 – 1·(–1)) = – (15 + 1) = – 16,

A = = 1·3 – 2·4 = 3 – 8 = –5,

A = – = – (5·3 – 4·(–1)) = – (15 + 4) = –19,

A = = 5·2 – 1·(–1) = 10 + 1 = 11.

Тогда A ^-1 = = = ;

Cделаем проверку:

A×A ^-1 = = = = E.

Найдем матрицу Х.

Х = = А^-1В = × = .

Итак, решением системы будет x = 1; x = 2; x = 3.

Ответ: x = 1; x = 2; x = 3.

Задание 1.3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

x + 2 x - 3 x + x = - 4,

2 x + x - x - x = 1,

x - x + 2 x + 3 x = 5,

5 x + 2 x - 4 x + 2 x = - 3.

Решение.

I. Составим расширенную матрицу системы линейных уравнений:

Первую строку матрицы умножим на -2 и прибавим ко второй строке матрицы, также первую строку умножим на -1 и прибавим к третьей строке и умножив первую строку на -5 прибавим ее к четвертой строке. После этого все элементы первого столбца, кроме первого, окажутся равными нулю.

 .

Четвертую строку умножим на -2 и сложим со второй строкой, умноженной на 5 (таким образом, мы получим на месте элемента a единицу).

 .

Теперь умножим вторую строку сначала на 3 и сложим с третьей, а затем на 8 и сложим с четвертой.

 .

Разделим все элементы четвертой строки на 5.

 .

Переставим четвертую и третью строки местами.



Умножим третью строку на -2 и сложим с четвертой.



В результате мы получили треугольную основную матрицу системы линейных уравнений. Запишем соответствующую данной расширенной матрице систему линейных уравнений и решим ее.

II. x + 2 x - 3 x + x = - 4 ,

Date: 2016-11-17; view: 369; Нарушение авторских прав