Оценка эксперта __

Задание 19 (=21 в 2015)

Самые общие инструкции по оцениванию выполнения заданий с развёрнутым ответом содержатся в критериях оценивания.

Разбиение сложной задачи на относительно простые пункты а) – в) было впервые применено именно к заданию 19(=21) и именно с нее эта методика была перенесена в задания 15, 16, 18. Пункт а) в целом по заданию 21 весьма прост, его верно выполняют до 10-15% участников, а в рассматриваемых вариантах этот показатель ещё выше в силу относительной простоты задания 21 именно в этих вариантах.

Различного рода неясности при выполнении п. а) можно было не учитывать, достаточно было верно приведенного примера. В отличие от этого, в п. б) требовалась уже большая аккуратность в обоснованиях, и тут - не редкость совершенно неверные решения при формально верном ответе «нет». Другими словами, эксперту тут следовало тщательно оценить приведенную аргументацию.

Заметные сложности и разнобой возникали при оценивании выполнения п. в). Дело в том, что в критериях предусмотрено только обоснованное получение верного ответа в нём: в данных вариантах – не только предъявление решения уравнения, но и обоснование отсутствия других решений. Если действовать строго по критериям, то в п.в) даже в случае верного решения уравнения и верного ответа при отсутствии полного обоснования следовало ставить 0 баллов (за этот пункт). В заметном числе случаев, эта строгость была излишней с учётом контекста всей работы целиком.

ВАРИАНТ 1

а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого
в 10 раз больше суммы цифр этого числа.

б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 175 раз больше суммы цифр этого числа?

в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 50 раз больше суммы цифр этого числа.

Решение.

а) Произведение цифр числа 2529 равно 180, а сумма цифр равна 18, то есть
в 10 раз меньше.

б) Предположим, что такое число существует и , , , — его цифры. Заметим, что среди этих цифр не может быть нулей, так как иначе
их произведение было бы равно нулю. Имеем: . Правая часть этого равенства делится на 25, поэтому среди цифр найдутся две цифры 5. Так как при перестановке местами цифр числа равенство остаётся верным, то без ограничения общности можно считать, что в числе цифры и равны 5.

Тогда . Получаем противоречие.

в) Предположим, что такое число существует и , , , — его цифры. Как и ранее, заметим, что среди этих цифр не может быть нулей, так как иначе их произведение было бы равно нулю. Имеем: . Правая часть этого равенства делится на 25, поэтому среди цифр найдутся две цифры 5. Без ограничения общности будем считать, что .

Тогда . Так как правая часть последнего равенства делится на 2, то либо , либо делится на 2. Будем считать, что на 2 делится .

Если , то , что невозможно. Если , то ; , что невозможно.

Если , то ; ; . Число и все числа, получаемые из него перестановкой цифр, удовлетворяют условию задачи. Если , то ; ; . Этот вариант также получается из предыдущего перестановкой цифр.

Ответ: а) например, 2529; б) нет; в) Число 8655 и все числа, получаемые
из него перестановкой цифр (всего 12 чисел).

ВАРИАНТ 2

а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого
в 14 раз больше суммы цифр этого числа.

б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 210 раз больше суммы цифр этого числа?

в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 49 раз больше суммы цифр этого числа.

Ответ: а) например, 2736; б) нет; в) Число 4677 и все числа, получаемые из него перестановкой цифр (всего 12 чисел).

Пример 1.

Комментарий. Задача решена и обоснования вполне достаточны

Оценка: 4 балла.

Пример 2.

Комментарий. Классический случай 3 баллов: всё верно, но в ответе не 12 чисел, а 10.

Оценка: 3 балла.

Пример 3.

Комментарий. Довольно редкий случай. Что-то разумное, но в итоге неверное, есть в решении б), а к а) и в) автор не приступал.

Оценка: 0 баллов