Формула Тейлора для функции нескольких переменных

Выведем формулу Тейлора для функции 2-х переменных, которая легко обобщаются для случая большего числа переменных. Будем предполагать, что функция имеет непрерывные частные производные до n-го порядка включительно в окрестности точки Пусть Также принадлежит окрестности точки M, соединим M и M₁ прямой.

Отрезок получается из уравнения прямой, если мы заставляем t принимать значения из [0,1]. При t=0, получим координаты точки M. При t=1 получим координаты точки M₁. Рассмотрим сложную функцию переменной t. Разложим по известной формуле Тейлора для функции одной переменной. При t=0: , где .

Первая производная функции

можно показать, что k -производная может представляться в виде:

Подставляя выписанные производные в формулу Тейлора, для функции одной переменной, получим:

*

Подставим в (5) значение t=1, получим выражение:

*

Формула (6) называется формулой Тейлора для функции двух переменных. При n=1 из формулы Тейлора вытекает аналог формулы Лагранжа для случая функции двух переменных.

, где значение переменной , заключенно между и , значение переменной , находящейся между и . В случае функции трех переменных формула Тейлора имеет вид:

*

*

.

Заметим, что выражение . называется первым дифференциалом функции U в точке с

Если переменные x,y,z независимы, то

называется дифференциалом второго порядка.

дифференциал к–го порядка. С учетом выписанного выражения формулу Тейлора можно представить в виде.