Частные производные различных порядков

Пусть задана функция двух переменных . Частные производные этой функции , . Сами могут являться функциями двух переменных. При этом можно говорить о частных производных различных порядков. Производные второго порядков

, , , .

Частные производные n -го порядка определяются рекуррентно, как частные производные от соответствующей производной первого порядка.

, называются смешанными производными.

Рассмотрим вопрос о зависимости результата дифференцирования функции нескольких переменных от различного порядка дифференцирования.

Теорема: Если функция и её частные производные

, , , определены и непрерывны в точке и в некоторой её окрестности, то имеет место равенство: .

Доказательство:

Рассмотрим величину . Видим, что величину A можно представить как приращение функции . Величина y при этом остается неизменной, таким образом , где функция удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа в некоторой окрестности точки M.

, где находится между и .

Выражение в скобках является приращением , соответствующим изменению переменной у, используя теорему Лагранжа повторно:

, где находится между и у+ .

Переставим теперь в выражении A среднее слагаемое.

При этом полученное выражение можно рассмотреть как приращение функции одной переменной у. . Используя теорему Лагранжа, получим: .

Применив к выражению в скобках, как функции переменной x теорему Лагранжа, получим.

, где между и . Приравнивая найденные представления, получим, что

,

В силу непрерывности, .

Переходя в (12) к пределу, получим равенство производных.