Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция и составляющаяПусть V – евклидово пространство со скалярным произведением (x, y), W – подпространство V. Множество всех векторов x, ортогональных всем векторам из W, которое обозначим , называется ортогональным дополнением к подпространству W. Опишем свойства ортогонального дополнения. Свойство 2.3. - линейное подпространство V. Доказательство. Пусть , тогда справедливы равенства и . Из этих равенств выводим равенства и , то есть . Тем самым свойство доказано. Свойство 2.4 . Доказательство. Построим ортогональный базис подпространства W и дополним его до ортогонального базиса всего пространства V. Векторы ортогональны векторам , а, значит и любому вектору из W. Следовательно, векторы принадлежат ортогональному дополнению к W. Разложим произвольный вектор x по базису и положим , . Поскольку x = y + z и , , то установлено равенство . Покажем, что сумма прямая. Пусть , тогда (x, x)=0 как скалярное произведение вектора из W на вектор из ортогонального дополнения к W. Единственный вектор нулевой длины равен 0, и, значит, пересечение содержит только нулевой вектор и сумма прямая. Следствие 2.4 . Доказательство вытекает из свойства прямой суммы подпространств. Любой вектор x пространства V можно представить в виде суммы вектора y из подпространства W и вектора z из , причем векторы y и z определяются единственным образом. Вектор y называется ортогональной проекцией x на W и обозначается , а вектор z – ортогональной составляющей вектора x и обозначается . О способах построения ортогональной проекции и ортогональной составляющей будет разговор в п.2.6. Свойство 2.5. . Доказательство. Применив Следствие 2.4, получим . Пусть x – произвольный вектор из W. Поскольку для произвольного вектора скалярное произведение (x, y)=0, то . Тем самым показано включение , из которого, в силу совпадения размерностей, выводим равенство . Пусть базис W. Вектор z принадлежит ортогональному дополнению к W тогда и только тогда, когда , , …, . Пусть базис пространства V. В координатах, эти равенства превращаются в систему линейных уравнений . Взяв в качестве W ортогональное дополнение к нему, получим следующее утверждение. Свойство 2.6. Любое подпространство может быть задано системой линейных однородных уравнений. В случае, если базис ортонормированный, коэффициентами при неизвестных в системе линейных уравнений являются координаты базисных векторов ортогонального дополнения.
|