Процесс ортогонализации

Пусть линейно не зависимая система векторов. Следующий процесс позволяет строить эквивалентную ей ортогональную систему векторов:

Положим , , …, …. Процесс не может быть продолжен только в случае, когда . Но тогда , и, значит, , что противоречит линейной независимости исходной системы векторов.

Ортогональность построенной системы проверяется непосредственно. Допустим, ортогональность системы векторов установлена. Покажем, что вектор ортогонален всем векторам, построенным ранее него. Действительно, , где k=1,2,…i -1. В силу ортогональности системы векторов в сумме из правой части равенства только одно не нулевое слагаемое, получаемое при j = k. Следовательно, .

Следствие 2.1 В любом подпространстве конечномерного евклидова пространства имеется ортогональный базис.

Доказательство. Возьмем базис подпространства и применим к нему процесс ортогонализации. В результате будет построена ортогональная система векторов (а, значит, и линейно независимая) из этого подпространства. Поскольку количество векторов в построенной системе совпадает с размерностью подпространства, то, следовательно, построенная ортогональная система векторов является базисом подпространства.

Следствие 2.2. Любую ортогональную систему векторов можно дополнить до ортогонального базиса всего пространства.

Доказательство. Пусть - ортогональная система векторов. Дополним ее до базиса всего пространства векторами и к полученной системе применим процесс ортогонализации. В результате будет построен ортогональный базис всего пространства. Поскольку первые k векторов были ортогональны, то в процессе ортогонализации они не изменились, т.е. ,…, . Таким образом, векторы дополняют ортогональную систему до ортогонального базиса всего пространства.

Следствие 2.3. Пусть - базис пространства, а - ортогональный базис пространства, полученный из базиса процессом ортогонализации. Тогда матрица перехода от одного базиса к другому является треугольной, и на ее главной диагонали стоят 1.

Доказательство. Согласно процессу ортогонализации имеем , , …, …, а, значит, матрица перехода P (ее столбцы – координаты базисных векторов) равна .