Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Изменение матрицы Грама при изменении базисаДопустим, в евклидовом пространстве V заданы два базиса и . Обозначим через матрицу перехода, связывающие координаты вектора в разных базисах. Пусть для определённости . Скалярное произведение не зависит от выбора базиса, поэтому . Подставим в правую часть равенства вместо координат вектора в базисе e их выражение через координаты в базисе f. В результате придём к равенству . Поскольку полученное равенство справедливо для любых векторов x и y, то выводим . Ортогональность. Определение 2.1. Векторы называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0. Теорема 2.1 (Пифагора). Пусть векторы x и y ортогональны, тогда . Доказательство. , т.к. в силу ортогональности. Теорема 2.2 (неравенство Бесселя). Пусть векторы x и y ортогональны, тогда . Доказательство. По теореме Пифагора . Поскольку , то , что и требовалось. Теорема 2.3 (неравенство Коши-Буняковского-Шварца). . Доказательство. Для любого a справедливо неравенство . Раскроем левую часть . В левой части неравенства записан квадратный трехчлен. Выделим из него полный квадрат . Положив получим неравенство из которого вытекает . Извлекая квадратный корень, получаем требуемое. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца позволяет ввести угол между векторами, то есть косинус угла равен отношению . Определение 2.2 Система векторов называется ортогональной, если каждая пара векторов из этой системе ортогональна. Свойство 2.1. Ортогональная система векторов линейно не зависима. Доказательство. Пусть - ортогональная система векторов и . Тогда . Таким образом и система векторов линейно независима. Свойство 2.2. Матрица Грама ортогональной системы векторов – диагональная.
|