Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Векторное и смешанное произведениеМножество всех ортонормированных троек векторов можно разбить на два класса. Будем говорить, что тройка имеет левую ориентацию, если со стороны первого вектора тройки движение (по кратчайшему пути) от второго к третьему по часовой стрелке, в противном случае тройка имеет правую ориентацию. Векторным произведением векторов a и b называется вектор, удовлетворяющий следующим трём условиям: 1. Длина вектора равна площади параллелограмма натянутого на векторы a,b. 2. Вектор ортогонален векторам a и b. 3. Тройка векторов a,b, – имеет правую ориентацию. Из определения вытекает, что . Если векторы a,b коллинеарные, то векторное произведение равно 0. Приведём свойства векторного произведения. Свойство 1.1 Векторное произведение антикоммутативно, то есть . Действительно, модуль векторного произведения не зависит от порядка сомножителей. Далее, вектор коллинеарен вектору . Однако, переставляя множителей, мы должны изменить направление произведения, чтобы было выполнено условие 3. Смешанным произведением векторов a,b,c называется число и обозначается . Свойство 1.2 Смешанное произведение векторов по модулю равно объёму параллелепипеда натянутого на тройку векторов . Знак смешанного произведения определяется ориентацией тройки векторов , плюс – если тройка правая и минус – если левая. Доказательство. По определению смешанного произведения , где - угол между вектором и векторным произведением , а - угол между векторами и . Произведение равно высоте параллелепипеда, а - площади основания параллелепипеда. Произведение этих величин равно объёму параллелепипеда. Знак произведения определяется знаком . Если угол острый, то тройка векторов правая и смешанное произведение положительно. Если угол тупой, то тройка левая и знак смешанного произведения отрицательный. Свойство 1.3 . Для доказательства достаточно заметить, что по модулю все приведённые величины равны и совпадают с объёмом параллелепипеда, натянутого на векторы , а знак определяется в зависимости от ориентации тройки векторов. Свойство 1.4. Доказательство. Рассмотрим смешанное произведение . Выпишем цепочку равенств, используя свойства смешанного и скалярного произведения: . Вычтем из левой части равенства правую и получим равенство справедливое при любом выборе x. Положим , тогда и, значит, . Свойство 1.5 Доказательство. . Выразим координаты векторного произведения через координаты исходных векторов в правом ортонормированном базисе. Пусть и . Используя свойства векторного произведения, найдём , и . Поскольку базис ортонормированный, то первая координата равна , вторая координата и третья координата . Таким образом, векторное произведение может быть получено в результате раскрытия по третьему столбцу символического определителя . Выразим смешанное произведение через координаты исходных векторов в ортонормированном базисе. Разложим векторы a,b,c по базису , , . Раскроем смешенное произведение . Выражение в правой части есть определитель матрицы . Таким образом, определитель матрицы, составленной из координат векторов по абсолютной величине равен объёму параллелепипеда натянутого на эти вектора, а его знак показывает ориентацию этой тройки векторов. Знак положителен, если ориентация совпадает с ориентацией базисных векторов и отрицателен, если ориентации не совпадают. Матрица Грама от трёх векторов, заданных в ортонормированном базисе равна произведению матриц , следовательно, определитель матрицы Грама равен квадрату объёма параллелепипеда натянутого на эти векторы.
|