Решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

Пусть требуется решить задачу Коши

(1)

(2)

где – кусочно-дифференцируемая функция, имеющая конечный порядок роста. Решение задачи ищется в классе функций-оригиналов.

Пусть , . Применяя к обеим частям (1) преобразование Лапласа и пользуясь свойствами этого преобразования, получим операторное уравнение

.

Отсюда находим

,

и, зная , находим его оригинал – решение задачи (1)-(2).

Аналогично решаются уравнения более высокого порядка.

Пример 6. Решить задачу Коши

Решение. Ищем решение задачи в виде оригинала ; пусть . Имеем:

;

;

.

Данному уравнению соответствует операторное уравнение

;

отсюда находим

.

Для нахождения разложим на сумму простейших дробей:

;

;

Таким образом,

;

.

Решение задачи Коши с начальными условиями в точке ,

,

сводится к рассмотренному случаю путем замены .