Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Изолированные особые точки. Их классификацияЧисло называется изолированной особой точкой (ИОТ) функции , если дифференцируема во всех точках некоторой окрестности точки , кроме самой этой точки, а в точке функция не дифференцируема или не определена. Различают три типа изолированных особых точек: устранимые особые точки, полюсы и существенно особые точки. 1) ИОТ называется устранимой особой точкой функции , если существует конечный предел , однако он не совпадает с или не определено. Если положить то функция станет аналитичной в точке и тем самым устранится особенность в этой точке; этим фактом и объясняется название особой точки. Пример. Функция имеет единственную особую точку . Выясним ее тип. . Следовательно, – устранимая особая точка. Если положить то станет аналитической на всей плоскости . Теорема 3. ИОТ является устранимой особой точкой функции в том и только в том случае, если в разложении в ряд Лорана функции в окрестности точки присутствует лишь правильная часть. Доказательство. Пусть – устранимая особая точка , то есть существует конечный предел . Тогда ограничена в некотором круге радиуса δ с центром в точке : для всех z, удовлетворяющих неравенству . Пусть ; согласно формуле (9) для коэффициентов ряда Лорана, . Если , то при . А так как не зависят от r, то это возможно лишь в случае , , что означает отсутствие главной части ряда Лорана в разложении. Докажем обратное утверждение. Пусть ряд Лорана функции в окрестности точки содержит лишь правильную часть: . Тогда , то есть – устранимая особая точка, что и требовалось доказать. 2) ИОТ называется полюсом, если (или, что то же самое, ). Пример. Для функции точка является полюсом, так как . Теорема 4. ИОТ является полюсом для функции в том и только в том случае, если ряд Лорана функции в окрестности точки содержит конечное (ненулевое) число слагаемых из главной части ряда: , . Доказательство. Пусть – полюс, то есть . Функция аналитична в некоторой проколотой окрестности точки (то есть в некоторой окрестности точки , за исключением самой точки ): . Тогда и точка является устранимой особой точкой для функции , следовательно, согласно теореме 3, допускает следующее разложение: , где , . Обозначим ; тогда , . Так как , то функция аналитична в некоторой окрестности точки : , поэтому функцию можно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки : , при этом . Отсюда получаем . Докажем вторую часть теоремы; пусть в разложении в ряд Лорана по степеням присутствует лишь конечное (ненулевое) число слагаемых из главной части: , где ; то есть . Тогда , иначе говоря, – полюс функции . Теорема полностью доказана. Число n, участвующее в этой теореме, называется порядком полюса. При полюс называется простым. Из доказательства теоремы 4 вытекает Следствие. Число является полюсом порядка n функции в том и только в том случае, если является нулем порядка n для функции Аналогичным образом доказывается и более общее утверждение: Теорема 5. Пусть и является нулем порядка m для и нулем порядка n для . Тогда а) если , то является нулем порядка для функции (то есть – устранимая особая точка для ); б) если , то является полюсом порядка для функции . 3) ИОТ называется существенно особой точкой для функции , если не существует ни конечного, ни бесконечного предела . Из доказанных выше теорем следует Теорема 6. Число является существенно особой точкой для функции в том и только в том случае, если ряд Лорана в окрестности точки содержит бесконечно много (ненулевых) слагаемых из главной части. Пример. Найти ИОТ и определить их тип для функции: а) ; б) . Решение. а) Единственной изолированной особой точкой является . Разложим в ряд Лорана в окрестности этой точки, используя разложение в ряд Тейлора: Ряд Лорана содержит конечное число (ровно два) ненулевых слагаемых из главной части, следовательно, является полюсом для . Порядок полюса равен 3. б) имеет одну ИОТ: . Разложим функцию в ряд Лорана по степеням , пользуясь известным разложением в ряд Тейлора: Главная часть ряда содержит бесконечное число слагаемых, поэтому является существенно особой точкой.
|