Нахождение оригинала по изображению

Пример 3. Найти оригинал изображения .

Решение. Найдем разложение функций и на сумму простейших дробей.

1) ;

;

Таким образом, .

Пользуясь теоремой запаздывания оригинала, находим:

.

2) .

Тогда: и .

Итак,

.

Сверткой функций-оригиналов и называется функция , определяемая правилом

.

Свертка функций-оригиналов также является функцией-оригиналом. Операция свертки обладает свойством коммутативности:

.

Теорема 2 (о произведении изображений). Если , , то

.

Пример 4. Найти оригинал функции (это первое слагаемое из предыдущего примера).

Решение. Обозначим , . Тогда

, .

Согласно теореме 2,

Следовательно,

.

Теорема 3 (первая теорема разложения). Если функция является аналитической в бесконечно удаленной точке (то есть функция

является аналитической в нуле), , и

,

то оригиналом является функция

.

Теорема 4 (вторая теорема разложения). Если является дробно-рациональной функцией и , то является изображением функции , где

,

где сумма берется по всем полюсам функции .

Пример. Найти оригинал функции (функция взята из предыдущего примера).

Решение. Функция имеет три изолированные особые точки: 0; ; . Согласно теореме 4,

.

Найдем эти вычеты. Точки 0 и являются простыми полюсами, поэтому

Таким образом,

.

И, наконец, пользуясь свойством запаздывания оригинала, получим:

.