Инволюция

Определение: Нетождественное проективное преобразование, совпадающее со своим обратным называется инволюцией φ = φ ^-1.

Рассмотрим φ ◦ φ ^-1.

С одной стороны φ◦φ ^-1= е, с другой φ◦φ ^-1 = φ◦φ = φ ², φ ² = е.

φ ³ =φ◦φ ² = φ◦е = φ, φ ⁴ =φ◦φ ³ = φ◦φ = φ ² = е и т.д.

Замечание: В дальнейшем будем рассматривать инволюцию прямой.

Теорема. Для того чтобы преобразование прямой на себя было инволюцией необходимо и достаточно, чтобы на этой прямой существовала пара точек переходящих друг в друга: А ↔ А′.

Доказательство.

Необходимость: Дано φ=φ ^-1 и А→φ (А)= А′. Доказать, что А′→ φ (А′) =А.

φ (А′) = φ (φ (А)) = φ◦φ (А) = е (А) = А.

Достаточность: Дано φ (А) = А′ и φ (А′) = А. Доказать, что φ = φ ^-1,

т.е. Х если φ (Х)= Х ′, то φ (Х′)= Х.

От противного. Пусть φ (Х)= Х ′, то φ (Х′)= Х ″ ≠ Х.

Так как это проективное преобразование, то сохраняется сложное отношение четырех точек (АА′,ХХ ′)= (φ (А) φ (А′), φ (Х) φ (Х ′))= (А ′ А, Х ′ Х ′ ′) = (АА′,Х ′′ Х ′), то в силу свойств и единственности сложного отношения получим, что Х = Х ′′. □

Отображение прямой на себя будет задаваться невырожденной матрицей второго порядка.

Пусть М , если φ=φ ^-1, тогда М = М ^-1 М²= λ ∙Е.

=

возможны два решения:

М = или М= = а ∙ Е, а это не удовлетворяет определению инволюции.

Итак, матрица инволюции прямой М = Δ М= - (а ² + bс) ≠ 0 (почему?)

Теорема. Пусть на проективной прямой даны пары точек А, А′ и В, В′, причем хотя бы в одной паре точки различны, тогда существует единственная инволюция переставляющая эти точки.

Т.е. А ↔ А′ и В ↔ В′.

Доказательство. Пусть А ≠ А′.

Рассмотрим проективное преобразование φ: А → А′, А′ → А, В → В′,

по теореме о задании проективного преобразования прямой - это преобразование единственное, а в силу предыдущей теоремы это инволюция (А↔А′). □

Вывод: В инволюции всегда есть пара точек А ↔ А′.

Рассмотрим инволюцию и пару А ↔ А′. Если взять эти точки в качестве базисных точек репера, т.е. А и А′ , тогда λ₁ А′ = ∙ А= ∙ = = а = 0, с = λ₁ ≠ 0.

λ₂ А= ∙ А′= ∙ = = b = λ₂ ≠ 0, а = 0.

М = , т.е. формулы проективного преобразования .

Определение: Точка называется инвариантной точкой проективного преобразования, если при отображении она переходит сама в себя → λ∙Х= М ∙Х.

Нахождение инвариантных точек сводится к нахождению собственных векторов и собственных значений матрицы.

det | М – λ ∙ Е | = 0 – характеристическое уравнение.

= 0 λ ² – а ² – bс = 0 λ ² =а ² + bс= -Δ М.

1 случай: Δ М < 0 - существует два решения λ_{1, 2} = существуют две неподвижные точки.

2 случай: Δ М > 0 - нет решения – нет неподвижных точек.

3 случай: Δ М = 0 - не может быть (почему?).

Определение: Если существует две инвариантные точки, то инволюция называется гиперболической. Если не существует инвариантных точек, то инволюция называется - эллиптической.

Инвариантные точки:

При λ₁ = , ∙ =

Х₁ = .

При λ ₂ = - , ∙ =

Х₂ = .

Вывод: Инволюция может иметь или две неподвижные точки, или ни одной.

Свойства:

1. Для гиперболической инволюции любые две пары соответствующих точек не разделяют друг друга.

2. Для эллиптической инволюции любые две пары соответствующих точек разделяют друг друга.

Доказательство. Пусть в инволюции А ↔ А′ и В ↔ В′.

Возьмем А и А′ за базисные точки репера М = .

Пусть В , причем b₁ ≠ 0 и b₂ ≠ 0 (почему?),

тогда λ∙В′= ∙ =

(АА′,ВВ′)= .

Таким образом:

Для гиперболической инволюции - det М = - b∙с < 0,

(АА′,ВВ′) > 0, т.е. пары не разделяют друг друга.

Для эллиптической инволюции - det М= - b∙с > 0,

(АА′,ВВ′) < 0, т.е. пары разделяют друг друга. □

3. Для эллиптической инволюции и любой пары соответствующих точек найдется единственная пара делящая первую гармонически.

Доказательство. Пусть А ↔ А′. Доказать, что существует пара точек В↔В' такая, что (АА',ВВ')= -1.

Возьмем А и А′ за базисные точки репера.

Тогда М = .

Пусть В , причем х₁ ≠ 0 и х₂ ≠ 0, тогда В′= .

(АА′,ВВ′)= = -1 (почему радикал существует?).

существует пара точек с координатами и .

Самостоятельно убедитесь, что В ↔ В′. □

4. Неподвижные точки гиперболической инволюции гармонически делят любую пару соответствующих точек А ↔ А′.

Доказательство. Пусть А↔А′, М₁ и М₂ - неподвижные точки.

(АА′, М₁М₂)=(А′А, М₁М₂)= (АА′,М₁М₂)² = 1

(АА′,М₁М₂) = ± 1. Если (АА′,М₁М₂)= 1 М₁ = М₂, но неподвижные точки гиперболической инволюции различны, а значит (АА′,М₁М₂)= - 1. □