Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
ИнволюцияОпределение: Нетождественное проективное преобразование, совпадающее со своим обратным называется инволюцией φ = φ -1. Рассмотрим φ ◦ φ -1. С одной стороны φ◦φ -1= е, с другой φ◦φ -1 = φ◦φ = φ 2, φ 2 = е. φ 3 =φ◦φ 2 = φ◦е = φ, φ 4 =φ◦φ 3 = φ◦φ = φ 2 = е и т.д. Замечание: В дальнейшем будем рассматривать инволюцию прямой. Теорема. Для того чтобы преобразование прямой на себя было инволюцией необходимо и достаточно, чтобы на этой прямой существовала пара точек переходящих друг в друга: А ↔ А′. Доказательство. Необходимость: Дано φ=φ -1 и А→φ (А)= А′. Доказать, что А′→ φ (А′) =А. φ (А′) = φ (φ (А)) = φ◦φ (А) = е (А) = А. Достаточность: Дано φ (А) = А′ и φ (А′) = А. Доказать, что φ = φ -1, т.е. Х если φ (Х)= Х ′, то φ (Х′)= Х. От противного. Пусть φ (Х)= Х ′, то φ (Х′)= Х ″ ≠ Х. Так как это проективное преобразование, то сохраняется сложное отношение четырех точек (АА′,ХХ ′)= (φ (А) φ (А′), φ (Х) φ (Х ′))= (А ′ А, Х ′ Х ′ ′) = (АА′,Х ′′ Х ′), то в силу свойств и единственности сложного отношения получим, что Х = Х ′′. □ Отображение прямой на себя будет задаваться невырожденной матрицей второго порядка. Пусть М , если φ=φ -1, тогда М = М -1 М2= λ ∙Е. = возможны два решения: М = или М= = а ∙ Е, а это не удовлетворяет определению инволюции. Итак, матрица инволюции прямой М = Δ М= - (а 2 + bс) ≠ 0 (почему?) Теорема. Пусть на проективной прямой даны пары точек А, А′ и В, В′, причем хотя бы в одной паре точки различны, тогда существует единственная инволюция переставляющая эти точки. Т.е. А ↔ А′ и В ↔ В′. Доказательство. Пусть А ≠ А′. Рассмотрим проективное преобразование φ: А → А′, А′ → А, В → В′, по теореме о задании проективного преобразования прямой - это преобразование единственное, а в силу предыдущей теоремы это инволюция (А↔А′). □ Вывод: В инволюции всегда есть пара точек А ↔ А′. Рассмотрим инволюцию и пару А ↔ А′. Если взять эти точки в качестве базисных точек репера, т.е. А и А′ , тогда λ1 А′ = ∙ А= ∙ = = а = 0, с = λ1 ≠ 0. λ2 А= ∙ А′= ∙ = = b = λ2 ≠ 0, а = 0. М = , т.е. формулы проективного преобразования . Определение: Точка называется инвариантной точкой проективного преобразования, если при отображении она переходит сама в себя → λ∙Х= М ∙Х. Нахождение инвариантных точек сводится к нахождению собственных векторов и собственных значений матрицы. det | М – λ ∙ Е | = 0 – характеристическое уравнение. = 0 λ 2 – а 2 – bс = 0 λ 2 =а 2 + bс= -Δ М. 1 случай: Δ М < 0 - существует два решения λ1, 2 = существуют две неподвижные точки. 2 случай: Δ М > 0 - нет решения – нет неподвижных точек. 3 случай: Δ М = 0 - не может быть (почему?). Определение: Если существует две инвариантные точки, то инволюция называется гиперболической. Если не существует инвариантных точек, то инволюция называется - эллиптической. Инвариантные точки: При λ1 = , ∙ = Х1 = . При λ 2 = - , ∙ = Х2 = . Вывод: Инволюция может иметь или две неподвижные точки, или ни одной. Свойства: 1. Для гиперболической инволюции любые две пары соответствующих точек не разделяют друг друга. 2. Для эллиптической инволюции любые две пары соответствующих точек разделяют друг друга. Доказательство. Пусть в инволюции А ↔ А′ и В ↔ В′. Возьмем А и А′ за базисные точки репера М = . Пусть В , причем b1 ≠ 0 и b2 ≠ 0 (почему?), тогда λ∙В′= ∙ = (АА′,ВВ′)= . Таким образом: Для гиперболической инволюции - det М = - b∙с < 0, (АА′,ВВ′) > 0, т.е. пары не разделяют друг друга. Для эллиптической инволюции - det М= - b∙с > 0, (АА′,ВВ′) < 0, т.е. пары разделяют друг друга. □ 3. Для эллиптической инволюции и любой пары соответствующих точек найдется единственная пара делящая первую гармонически. Доказательство. Пусть А ↔ А′. Доказать, что существует пара точек В↔В' такая, что (АА',ВВ')= -1. Возьмем А и А′ за базисные точки репера. Тогда М = . Пусть В , причем х1 ≠ 0 и х2 ≠ 0, тогда В′= . (АА′,ВВ′)= = -1 (почему радикал существует?). существует пара точек с координатами и . Самостоятельно убедитесь, что В ↔ В′. □ 4. Неподвижные точки гиперболической инволюции гармонически делят любую пару соответствующих точек А ↔ А′. Доказательство. Пусть А↔А′, М1 и М2 - неподвижные точки. (АА′, М1М2)=(А′А, М1М2)= (АА′,М1М2)2 = 1 (АА′,М1М2) = ± 1. Если (АА′,М1М2)= 1 М1 = М2, но неподвижные точки гиперболической инволюции различны, а значит (АА′,М1М2)= - 1. □
|