Гомология

Определение: Не тождественная коллинеация, для которой существует точечно неподвижная прямая называется гомологией.

По принципу двойственности у гомологии будет неподвижная точка.

Определение: Прямая называется осью гомологии. Точка называется центром гомологии.

Обозначение: Р – центр, р – ось.

Определение: Если Р р - гомология называется параболической, если Р р - гомология называется гиперболической.

Теорема. Любая прямая инцидентная центру гомологии является неподвижной.

Доказательство. (самостоятельно).

Свойства:

1. Точка и ее образ лежат на одной прямой с центром А А ′ (АР).

2. Прямая и ее образ пересекаются на оси а а′ ∩ а = А₀ р.

Теорема. Для любых точки Р, прямой р и пары точек А и А ′, коллинеарных с точкой Р, существует единственная гомология с центром Р и осью р, переводящая А в А ′.

(Сформулируйте теорему двойственную этой.)

Доказательство.

1 случай: Р р.

Пусть р ∩ (АА′)= Х, возьмем ещё две точки U ≠ V р.

Рассмотрим две четвёрки точек: А, Р, U, V и А', Р, U, V – в каждой четвёрке точек никакие три не лежат на одной прямой. Тогда можно рассмотреть коллинеацию

φ: U→U, V→V, Р→Р, А→А′.

Так как U, V – неподвижные точки, тогда неподвижна вся прямая - р, а значит это гомология.

2 случай: Р р (самостоятельно). □

Вывод: Гомологию можно задать: осью, центром и парой точек, коллинеарных с центром. Гомологию можно задать: осью центром и парой прямых.