Перспектива

Определение: Центральной проекцией или перспективой прямой ℓ на прямую ℓ ' из точки S называется отображение при котором каждой точке А прямой ℓ ставится в соответствие точка А ' прямой ℓ' такая что А '= ℓ ' ∩ (SА).

Свойства:

1. Перспектива является взаимнооднозначным отображением в силу того, что любые две прямые имеют одну и только одну общую точку.

2. При перспективе сохраняется сложное отношение четырёх точек лежащих на одной прямой (по свойствам сложного отношения).

3. Если обозначить ℓ ∩ ℓ' = М, тогда точка М отображается сама в себя, т.е. при перспективе прямой на прямую точка пересечения этих прямых переходит сама в себя.

Доказательство. Пусть М → М′ ≠ М,

по определению М ′= (SМ)∩ ℓ ', но М ℓ ′ М = ℓ '∩(SМ). □

Теорема 1. Для того, чтобы отображение прямой на прямую было перспективой необходимо и достаточно чтобы при этом отображении точка пересечения этих прямых переходила в себя.

Доказательство. Необходимость следует из свойства (3).

Достаточность: φ: ℓ₁ → ℓ₂ и М: φ(М)= М, причем М= ℓ₁ ∩ ℓ₂.

Возьмем точки А₁, В₁ ℓ₁, найдем φ(А₁)= А₂ и φ(В₁)= В₂ ℓ₂.

Таким образом φ: А₁, В₁, М → А₂, В₂, М, причем это отображение единственное, но (А₁В₁)∩(А₂В₂)= S - единственная точка. Отсюда следует, что существует перспектива прямой ℓ₁ на прямую ℓ₂ из точки S.

Так как отображение единственное - это и есть перспектива. □

Теорема 2. Пусть даны две тройки точек: А₁, В₁, С₁ ℓ₁ и А₂, В₂, С₂ ℓ₂, причем в каждой тройке точки различны, тогда φ: ℓ₁ → ℓ₂, такое что φ(А₁)= А₂, φ(В₁)= В₂, φ(С₁)= С₂.

Доказательство. Докажем построением. Возможны два случая.

1 случай: ℓ₁ ≠ ℓ₂.

1. Проводим прямую (А₁А₂) и берем на ней две произвольные точки S₁ и S₂ отличные от А₁ и А₂ .

2. В₀ =(S₁В₁)∩(S₂В₂), С₀ =(S₁С₁)∩(S₂С₂), А₀ =(В₀С₀)∩(S₁S₂),

3. Рассмотрим отображения φ₁: ℓ₁ → (В₀С₀) - перспектива с центром S₁ и φ₂: (В₀С₀) → ℓ₂ - перспектива с центром S₂, тогда искомое проективное преобразование φ = φ₂ ◦ φ₁. так как φ₁ и φ₂ - проективные преобразования, то φ - тоже проективное преобразование.

4. М₀ =(S₁М₁)∩(В₀С₀), М₂ =(S₂М₀)∩ ℓ₂ - образ точки М ₁.

2 случай ℓ₁ = ℓ₂.

1. Проводим произвольную прямую ℓ₃, берем произвольную т. S₃ не инцидентную прямым ℓ₁ и ℓ₃.

2. А₃ =(S₃А₁)∩ ℓ₃ ,

В₃ =(S₃В₁)∩ ℓ₃ ,

С₃ =(S₃С₁)∩ ℓ₃.

3. Проводим прямую (А₂А₃) и берем на ней две произвольные точки S₁ и S₂ отличные от А₂ и А₃ .

4. С₀ =(S₁С₃)∩(S₂С₂), В₀ =(S₁В₃)∩(S₂В₂), А₀ =(В₀С₀)∩(S₁S₂).

5. Рассмотрим отображения:

φ₃ : ℓ₁ → ℓ₃ - перспектива с центром S₃

φ₁: ℓ₃ → (В₀С₀) - перспектива с центром S₁

φ₂: (В₀С₀) → ℓ₁ = ℓ₂ - перспектива с центром S₂,

тогда искомое проективное преобразование

φ = φ₂ ◦ φ₁ ◦ φ₃.

6. М₃ =(S₃М₁)∩ ℓ₃, М₀ =(S₁М₃)∩(В₀С₀), М₂ =(S₂М₀)∩ ℓ₁.

Вывод: Проективное отображение прямой на прямую задается двумя тройками различных точек.

Вывод: Любое проективное отображение прямой можно разложить на композицию не более трех перспектив:

1. Если ℓ₁ = ℓ₂ - три перспективы.

2. Если ℓ₁ ≠ ℓ₂ - не более двух перспектив.

3. Если ℓ₁ ≠ ℓ₂ и (А₁А₂)∩(В₁В₂)∩(С₁С₂)= S - одна перспектива с центром в точке S.