Построение образов и прообразов точек при инволюции прямой

Задача. Инволюция задана точками А ↔ А′ и В ↔ В′. Построить образ и прообраз произвольных точек.

Решение. Решение соответствует второму случаю (ℓ₁ = ℓ₂) отображения φ: А → А′, В → В′, А′ → А.

Построение:

1. S₁ ℓ₁,

2. ℓ₃, такую, что S₁ ℓ₃ и ℓ₁ ≠ ℓ₃,

3. А₃ = ℓ₃ ∩ (S₁ А), В₃ = ℓ₃ ∩ (S₁В), С₃ = ℓ₃ ∩ (S₁ А ′),

4. S₂ ≠ S₃ (А ′ А₃),

5. С₀ =(S₃С₃)∩(S₂А), В₀ =(S₃В₃)∩(S₂В′), А₀ =(В₀С₀)∩(А′А₃).

6. К К₃ =ℓ₃∩ (S₃ К), К₀ =(S₃К₃)∩(В₀С₀), К′ =(S₂К₀)∩ ℓ₁.

7. L_∞ ℓ₁, L₀ =(S₂L₃)∩(В₀С₀), L₃ =(S₃L₀)∩ ℓ₃, L =(S₁L₃)∩ ℓ₁.

8. Построение прообразов в обратном порядке (самостоятельно).

Задача. Дана гиперболическая инволюция и даны инвариантные точки М₁ и М₂. Построить образ и прообраз произвольной точки А.

Решение. По свойству (4) → (АА′, М₁М₂)= - 1. Т.о. задача сводится к построению четвертой гармонической точки. Аналогично строится прообраз точки.

Задача. Даны точки А ↔ А′ и В ↔ В′ . Найти уравнение инволюции.

Решение. Пусть матрица инволюции М = , тогда формулы λ∙Х ′ = М ∙ Х и λ∙Х = М ∙ Х ′.

Подставим точки:

λ₁∙А ′= М ∙ А ,

λ₂∙А = М ∙ А ′ ,

λ₃∙В ′= М ∙ В ,

λ₄∙В = М ∙ В ′ .

.

Одно из решений а = 7, b = - 5, с= 2, М= .

Уравнение инволюции: λ∙Х ′ = ∙ Х.

Задача. Известны неподвижные точки инволюции - М₁ и М₂ , найти её уравнение.

Решение. Пусть матрица инволюции М = ,

тогда формулы преобразования λ∙Х ′= М ∙ Х и λ∙Х = М ∙ Х ′, для инвариантных точек λ∙Х = М ∙ Х.

Подставим наши точки: λ₁∙М₁ = М ∙ М₁, λ₂∙М₂ = М ∙ М₂ .

.

Одно из решений а = -5, b = 3, с= - 8, М= .

Уравнение инволюции: λ∙Х ′ = ∙ Х.

Задача. Найти неподвижные точки инволюции .

Решение. Матрица инволюции М = .

Тогда характеристическое уравнение λ ² - 9² –(- 8)∙7 = 0 λ ² = 25 λ = ± 5.

При λ₁ = 5, ∙ = х₁ = 2 ∙х₂ , М₁ = .

При λ ₂ = - 5, ∙ = 7∙ х₁ = 4 ∙х₂ , М₂ = .