Аналитическое представление проективных преобразований

Любое проективное преобразование однозначно определяется парой реперов R (Е₁ , Е₂ , Е₃ , Е) и R ′(Е ′ ₁ , Е ′ ₂ , Е ′ ₃ , Е ′). Так как реперы заданы, тогда можно найти преобразование координат при переходе от одного репера к другому, т.е. можно найти матрицу А причем она не вырождена (почему?).

Формулы преобразования координат одной и той же точки Х будут:

λ Х_R = A ∙ X_R′ и μ X_R′ = А^-1 ∙ Х_R (*)

Пусть f (Х) = Х ', причем Х_R и Х '_R′ .

Найдем координаты точки Х ' в репере R: λ Х '_R = A ∙ Х '_R′.

Таким образом, λ Х '_R = A ∙ Х_R, тогда μ Х = A^-1 ∙ f (Х) (**)

(Почему существует обратная матрица?)

Замечание: Хотя формулы (*) и (**) вроде бы одинаковые, необходимо помнить, что в (*) одна и та же точка в разных реперах, в (**) две разные точки (образ и прообраз) в одном репере.

Матрица, задающая преобразование координат для двух данных реперов R (Е₁ , Е₂ , Е₃ , Е) и R ′(Е ′ ₁ , Е ′ ₂ , Е ′ ₃ , Е ′) единственна (с точностью до пропорциональности). Отсюда следует, что проективное преобразование задает единственную матрицу A (с точностью до пропорциональности).

Теорема. Если на Р₂ задано отображение формулами (**), тогда это отображение является проективным преобразованием.

Доказательство. Пусть f: Р₂ → Р₂, так что λ f (Х) = A ∙ Х.

Рассмотрим точки репера Е₁ , Е₂ , Е₃ , Е, их образы обозначим

Е ′ ₁ , Е ′ ₂ , Е ′ ₃ , Е ′. Необходимо и достаточно доказать что точки

Е ′ ₁ , Е ′ ₂ , Е ′ ₃ , Е ′ образуют новый репер (т.е никакие три не лежат на одной прямой и он согласован).

Пусть матрица A = , тогда Е′₁= f (Е₁)= A· = ,

Е′₂= f (Е₂)= A· = , Е′₃=f (Е₃)= A· = , Е′=f (Е)= A· =

Е ′ ₁ , Е ′ ₂ , Е ′ ₃ - не лежат на одной прямой, так как ≠0 (почему?),

То же самое можно сказать о тройках: Е ′ ₁ , Е ′ ₂ , Е ′, Е ′ ₁ , Е ′ ₃ , Е ′, Е ′ ₂ , Е ′ ₃ , Е ′.

Т.к., Е ′ ₁ + Е ′ ₂+ Е ′ ₃= Е ′ - есть согласованность (проверьте).

Таким образом, f: R (Е₁ , Е₂ , Е₃ , Е) → R ′(Е ′ ₁ , Е ′ ₂ , Е ′ ₃ , Е ′), а значит f - есть проективное преобразование. □

Вывод: Проективное преобразование однозначно определяется формулами (**), то есть матрицей A. Поэтому это тоже можно считать определением проективного преобразования.

Определение: Композицией двух проективных преобразований f: Х → Х′ и g: Х′ → Х′′ будем называть последовательное выполнение преобразований сначала f затем g.

Обозначение: f ◦ g

При этом f: R → R ′ и g: R ′ → R ′′, значит f ◦ g: R → R ′′, т.о., f◦g - проективное преобразование.

(почему?).

Пусть f задается матрицей A, а g задается матрицей В.

Тогда f◦g (Х)= f (g (Х))= f (A· Х)= В (A· Х)= В·A· Х,

таким образом матрицей преобразования f◦g является матрица В·A, причем она не вырождена. (почему?).

Определение: Преобразование, оставляющее все точки плоскости на месте, называется тождественным.

Тождественное преобразование задается матрицей – Е.

Определение: Обратным преобразованием для f: Х → Х ′ будет преобразование f ^-1: Х′ → Х.

Если f: R → R ′,

тогда f ^-1: R ′ → R.

f ^-1 - проективное преобразование (почему?).

f ^-1 будет задаваться - А^-1 (почему?).

Теорема. Множество П - проективных преобразований является группой относительно операции композиция.

Доказательство. Самостоятельно.

Теорема. Проективное преобразование прямой образует подгруппу в группе проективных преобразований - П.

Доказательство. Самостоятельно.

Виды проективных преобразований:

1. Инволюция – нетождественное проективное преобразование, совпадающее со своим обратным: f = f ^-1.

2. Коллинеация - проективное преобразование, при котором прямая переходит в прямую, точка переходит в точку.

3. Корреляция - проективное преобразование, при котором прямая переходит в точку, точка переходит в прямую.

4. Гомология - проективное преобразование, имеющее по крайней мере три неподвижных точки принадлежащие одной прямой.

5. Центральное проектирование.

Множество коллинеаций образует подгруппу в группе проективных преобразований. Подгруппа коллинеаций сама имеет несколько подгрупп. Эта идея («групповая») была положена в основу классификации геометрических преобразований Феликсом Клейном в 1872 году в работе «Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований». Другое название этой работы - «Эрлангенская программа».

Геометрия – это учение о геометрических преобразованиях и каждая геометрия характеризуется соответствующей группой преобразований. Предметом геометрии являются те свойства фигур, которые инвариантны при преобразованиях данной группы.

Евклидова геометрия изучает те свойства фигур, которые сохраняются при движениях - Д (длины, углы). Аффинная геометрия изучает те свойства фигур, которые сохраняются при аффинных преобразованиях - А (простое отношение точек, параллельность прямых). Проективная геометрия изучает те свойства фигур, которые сохраняются при проективных преобразованиях - П (сложное отношение точек, инцидентность, точка, прямая, пучок, репер, квадрики).

Д А П