Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Коллинеация





Определение: Проективное преобразование плоскости называется коллинеацией, если образом точки будет точка, а образом прямой прямая.

Свойства:

1. Сохраняется инцидентность точек и прямых.

2. Сохраняется сложное отношение четырёх точек, лежащих на одной прямой и четырёх прямых пучка.

3. Композиция коллинеаций, есть коллинеация.

4. Множество коллинеаций образует подгруппу в группе проективных преобразований.

Доказательство. Самостоятельно.

Теорема 1. Пусть А1, В1, С1, D1 и А2, В2, С2, D2 - упорядоченные четверки точек, в каждой из которых никакие три не лежат на одной прямой. Тогда существует коллинеация φ на проективной плоскости такая, что: φ(А1) = А2, φ(В1) =В2, φ(С1) = С2, φ(D1) = D2.

Доказательство. По аналогии с проективным отображением прямой на прямую, преобразование плоскости можно разложить на композицию не более чем трёх перспектив. Доказательство осуществляется построением. □

Рассмотрим Р2 и два репера, тогда уравнение коллинеации, переводящее точки репера в точки репера единственное и задается формулами (**).

Пусть и ( и1 : и2 : и3 ) - прямая и∙Х = 0, её образ - f (и) = и ′ (и′1 : и′2 : и′3) → и′∙Х ′ = 0 .

и∙Х = и∙А-1 f (Х) = и∙А-1 Х ′ = 0 → и∙А-1 = λ∙и′ μ∙и = и′∙А.

Вывод: Формулы коллинеации имеют вид:

Для точек: λ∙Х ′=АХ и μ∙Х = А-1Х ′.

Для прямых: иА-1 = λ∙и′ μ∙и = и′∙А.

Замечание: Формулы очень похожи на формулы преобразования координат при переходе к другому реперу. Но там координаты одной и той же точки в разных реперах, здесь координаты разных точек (образа и прообраза) в одном репере.

 

Инварианты коллинеации

Определение: Точка называется неподвижной (инвариантной) точкой проективного преобразования, если она переходит сама в себя.

Определение: Прямая называется неподвижной (инвариантной) прямой проективного преобразования, если она переходит сама в себя.



Определение: Прямая называется точечно неподвижной (точечно инвариантной) прямой проективного преобразования, если каждая точка этой прямой инвариантна.

Нахождение инвариантов коллинеации.

Так как для инвариантных точек λ∙Х = М∙Х , то они являются собственными векторами матрицы преобразования. Собственные значения находятся из характеристического уравнения

det | М –λ ∙Е| = 0.

Матрица коллинеации - третьего порядка, а значит, характеристическое уравнение будет кубическим. При решении кубического уравнения возможны случаи:

· 1 случай. λ1 , λ2 – комплексные, λ3 – действительные корни.

λ3 – дает одну инвариантную точку и в силу принципа двойственности будет одна инвариантная прямая.

· 2 случай. λ1 , λ2 , λ3 – различные действительные корни.

Тогда собственные вектора линейно независимы, а значит, существует три инвариантные точки, причем эти точки различны и не лежат на одной прямой. Эти три точки образуют три неподвижные прямые.

· 3 случай. λ1 = λ2 ≠ λ3 – действительные корни.

Пусть r = rang (М –λ1Е), тогда число линейно независимых векторов в подпространстве решений равно 3 – r .

а) λ1 = λ2 - дают один линейно независимый вектор (r = 2). Тогда будет одна инвариантная точка при λ1 и λ3 – даст вторую инвариантную точку. Таким образом, всего две неподвижные точки, которые образуют неподвижную прямую.

б) λ1 = λ2 - дают два линейно независимых вектора, которые образуют двумерное подпространство решений (r = 1), которое в свою очередь порождает точечно неподвижную прямую. λ3 – дает инвариантную точку не принадлежащую точечно неподвижной прямой.

· 4 случай. λ1 = λ2 = λ3 – действительные корни.

а) r = 1 один линейно независимый вектор, а значит одна инвариантная точка;

б) r = 2 два линейно независимых вектора, а значит две инвариантные точки, которые определяют точечно неподвижную прямую;

в) r = 3 - не может быть (почему?).

 

Собственные вектора находятся из решения системы: (М –λЕХ = О

Для нахождения инвариантных прямых характеристическое уравнение будет - det | λ ∙Е – М| = 0, а значит собственные значения те же самые. Собственные вектора находятся из решения системы: и∙(М –λЕ) = о.

 

Задача. Найти инвариантные точки коллинеаций:

а) Уравнение коллинеации

Решение. Матрица коллинеации .

Характеристическое уравнение: = 0

( 1 - λ)2 ∙(- 1 – λ) = 0, λ1 = λ2 = 1, λ3 = - 1.

При λ1 = 1 =

х1 = 2∙х3 , М1 = и М2 = .

При λ1 = 1, rang = 1 коллинеация имеет точечно неподвижную прямую, проходящую через точки М1 и М2 , это прямая - х1 - 2∙х3 = 0.

При λ3 = -1 = М3= .



Кроме того инвариантными будут прямые проходящие через точку М3 и любую точку прямой х1 - 2∙х3 = 0.

det |λ∙Е–М|=0 =0 λ1 = λ2 = 1, λ3 = - 1.

При λ1 = 1 (и1 : и2 : и3 )∙ =( 0 : 0 : 0 )

и ( 1 : 0 : 0 ) и v ( 0 : 1 : 0 ) имеем пучок инвариантных прямых (центр пучка - точка М3): λ∙и + μ∙v

При λ3 = - 1 ( и1 : и2 : и3 )∙ =(0 : 0 : 0 )

и ( 1 : 0 : -2 ) х1 - 2∙х3 = 0 - точечно неподвижная прямая..

б) Матрица коллинеации .

Решение.

Характеристическое уравнение =0

( λ2 - 2λ + 1)∙(- 2 – λ) = 0, λ1 = λ2 = 1, λ3 = - 2.

При λ1= 1, =

М1 = .

При λ3 = - 2, = М3= .

Задача. Составить уравнение коллинеации, заданной четверками точек

А , В , С , D и А′ , В′ , С′ , D′ .

Решение. Формулы коллинеации имеют вид: λ∙Х ′=A∙Х.

Пусть матрица коллинеации А , тогда

λ1А ′=AА → ,

λ2В ′=AВ → ,

λ3С′=AС → ,

λ4D ′=AD → .

Одно из решений: а=1, b=0, с=3, d=2, f=1, g= -1, т=0, п=1, k= -2,

тогда А .

 






Date: 2015-12-12; view: 220; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2019 year. (0.016 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию