Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Задачи на построение, связанные с оваломЗадача 1. Даны пять точек А, В, С, D, F - инцидентные овальной квадрике, прямая проходящая через одну из точек. Построить точку пересечения этой прямой с квадрикой. (Квадрика не изображена). Решение. Применим теорему Паскаля. Пусть прямая проходит через точку А - а. Обозначим: А = А1 , В = А2, С = А3, D = А4, F = А5, тогда а =(А1А6), и точку А6 необходимо построить. (А1А2) ∩ (А4А5)= P, (А2А3) ∩ (А5 А6)= Q, (А3А4) ∩ (А6А1)= R. По теореме Паскаля точки P, Q, R - коллинеарны. Из этих точек можно построить: P =(А1А2)∩(А4А5) и R =(А3А4)∩(А6А1), А значит можно построить паскалеву прямую (PR). Тогда можно найти точку Q Q = (А2А3)∩(PR), а значит, становится известной прямая (А5 А6) = (А5Q). Тогда А6 = (А5 А6)∩(А6А1).
Построение: 1. P = (А1А2) ∩ (А4А5) R = (А3А4) ∩ а, Q = (А2А3)∩(PR), 2. А6 = (А5 Q)∩ а Задача 2. Даны пять точек А, В, С, D, F - инцидентные овальной квадрике. Через одну из них построить касательную к квадрике. (Сама квадрика не изображена). Решение. Будем строить касательную через точку А. Так рассматривается касательная, то задача будет сводиться к предельным случаям теоремы Паскаля. Обозначим А = А1 = А6 , В = А2, С = А3, D = А4, F = А5, тогда необходимо построить прямую (А1А6). (А1А2) ∩ (А4А5)= P, (А2А3) ∩ (А5 А6)= Q, (А3А4) ∩ (А6А1)= R. По теореме Паскаля точки P, Q, R - коллинеарны. Из этих точек можно построить P = (А1А2)∩(А4А5) и Q = (А2А3) ∩ (А5 А6). А значит можно построить паскалеву прямую (PQ). Тогда можно найти точку R - R= (А3А4)∩(PQ), а значит, становится известной прямая (А1 А6)=(А1R). Построение: P =(А1А2)∩(А4А5) Q= (А2А3)∩(А5А6) R= (А3А4)∩(PQ). (А1А6)=(А1R) - искомая касательная.
Задача 3. Даны четыре точки А, В, С, D - инцидентные овальной квадрике, и касательная в одной из них. Через вторую точку проведена прямая. Построить точку пересечения этой прямой с квадрикой. (Сама квадрика не изображена). Решение. Пусть дана касательная в точке А - а. Через В проведена прямая b. Будем строить вторую точку пересечения прямой b с квадрикой. Так рассматривается касательная, то задача будет сводиться к предельным случаям теоремы Паскаля. Обозначим А = А1 = А6 , С = А2, D = А3, В= А4, тогда а =(А1А6), b =(А4А5) и точку А5 необходимо построить. (А1А2) ∩ (А4А5)= P, (А2А3) ∩ (А5 А6)= Q, (А3А4) ∩ (А6А1)= R. По теореме Паскаля точки P, Q, R - коллинеарны. Из этих точек можно построить P = (А1А2)∩(А4А5) и R = (А3А4)∩(А6А1), А значит можно построить паскалеву прямую (PR). Тогда можно найти точку Q Q = (А2А3)∩(PR), а значит, становится известной прямая (А5 А6) = (QА6). Тогда А5 = (А5 А6)∩(А4А5).
Построение: 1. P = (А1А2) ∩ b и R = (А3А4) ∩ а, 2. Q = (А2А3)∩(PR), 3. А5 = (QА6)∩ b.
Задача 4. Даны четыре точки А, В, С, D - инцидентные овальной квадрике, и касательная в одной из них. Построить касательную к квадрике через другую точку. (Сама квадрика не изображена). Решение. Пусть дана касательная в точке А - а. Будем строить касательную через В. Так рассматриваются касательные, то задача будет сводиться к предельным случаям теоремы Паскаля. Обозначим: А=А1 = А6 , С = А2, D = А3, В= А4= А5, тогда а =(А1А6), тогда необходимо построить прямую (А4А5). (А1А2) ∩ (А4А5)= P, (А2А3) ∩ (А5 А6)= Q, (А3А4) ∩ (А6А1)= R. По теореме Паскаля точки P, Q, R - коллинеарны. Из этих точек можно построить Q = (А2А3) ∩ (А5 А6) и R = (А3А4)∩(А6А1), а значит можно построить паскалеву прямую (QR). Тогда можно найти точку P - Р = (А1А2)∩(PR), а значит, становится известной прямая (А4 А5) = (РА4) – искомая касательная. Построение: 1. Q = (А2А3)∩(А5А6), R = (А3А4)∩ а, Р = (А1А2)∩(Q R), 2. (А4 А5) = (А4Р) - искомая касательная.. Задача 5. Даны три точки А, В, С - инцидентные овальной квадрике, и через две из них проведены касательные. Через третью точку проведена прямая. Построить вторую точку пересечения этой прямой с квадрикой. (Сама квадрика не изображена). Решение. Пусть даны касательные в точках А - а и В - b. Через С проведена прямая с. Будем строить вторую точку пересечения прямой с с квадрикой. Так как рассматриваются касательные, то задача будет сводиться к предельным случаям теоремы Паскаля. Обозначим А = А1 = А6 , В = А2 = А3, С= А4, тогда а =(А1А6), b =(А2А3) и прямая с = (А4А5). Точку А5 необходимо построить. (А1А2) ∩ (А4А5)= P, (А2А3) ∩ (А5 А6)= Q, (А3А4) ∩ (А6А1)= R. По теореме Паскаля точки P, Q, R - коллинеарны. Из этих точек можно построить: P = (А1А2) ∩ (А4А5) и R = (А3А4)∩(А6А1), а значит можно построить паскалеву прямую (РR). Тогда можно найти точку Q= (А2А3)∩(PR), а значит, становится известной прямая (А5 А6) = (QА6). Тогда А5 = (А5 А6)∩(А4А5). Построение самостоятельно.
Задача 6. Даны пять точек А, В, С, D, F - принадлежащие овальной квадрике и точка М не инцидентная квадрике. Построить поляру точки. (Сама квадрика не изображена). Идея решения. Проведем прямые три прямые, например, (АМ), (ВМ), (СМ). Построим последовательно точки Х, Y, Z (см. задачу 1), затем К, N. Прямая (КN) - искомая (обоснуйте.)
Задача 7. Попробуйте решить самостоятельно предыдущие задачи, применяя теорему Брианшона.
|