Эпюры нормальных напряжений, деформаций и перемещений при растяжении и сжатии ступенчатого бруса

Напряжения s, относительные удлинения e и перемещения сечений Dl изменяются по длине бруса и являются функциями положения сечения, т.е.:

, ,

Графики этих функций называют эпюрами. Все эпюры строят на одном чертеже под схемой бруса. Оси абсцисс для эпюр проводят параллельно оси бруса, а на перпендикулярах к ним откладывают значения напряжений, деформаций и перемещений в заранее выбранном масштабе. Положительные значения откладывают выше, а отрицательные ниже оси абсцисс. При построении эпюр пользуются следующими правилами.

1.На схеме бруса отмечают характерные сечения, в которых изменяется поперечное сечение бруса либо изменяется нагрузка. Нумерацию сечения начинают от свободного сечения бруса.

2. Для каждого участка бруса записывают аналитическое выражение N(x) истроят эпюру нормальных сил в сечениях бруса, по правилам, которые приведены в разделе 2 главы 2, параграфе 2.2.3.

3. Для каждого участка бруса записывают аналитическое выражение s(x). Строят эпюру s, разделив ординаты эпюры нормальных сил N на площадь сечения F. На эпюре будут скачки не только в сечениях, где приложены сосредоточенные нагрузки, но и в сечениях, где происходит ступенчатое изменение поперечного сечения бруса.

4. Для каждого участка бруса записывают аналитическое выражение e(x). Строят эпюру e, разделив ординаты эпюры s на значение модуля упругости для материала, из которого выполнен участок бруса. При E= const. для всех участков бруса, очертания эпюры e будет повторять очертания эпюры s.

5.Для каждого участка записывают аналитическое выражение перемещений сечений бруса Dl(х). Перемещения сечений бруса вычисляют от неподвижного сечения (заделки). Между перемещениями сечений бруса Dl(х) и относительной деформацией e(х) существует интегральная зависимость, следовательно, эпюра Dl ограничена кривой, степень которой на единицу выше степени эпюры e. Перемещение любого сечения бруса Dl(х) относительно неподвижного равно алгебраической сумме площадей эпюры e на интервале от неподвижного до рассматриваемого сечения. В сечениях где e(х)= 0 - на эпюре Dl будет экстремум; в сечениях, где на эпюре e скачки - на эпюре Dl будет перелом. Характерной особенностью эпюры перемещений Dl является отсутствие на ней скачков. Скачок на эпюре Dl возможен только при наличии первоначального зазора между двумя сечениями бруса.

Пример 3.3

Для ступенчатого стального бруса (рис. 3.25а) определить реакции в заделках, построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений s, относительных деформаций e, продольных перемещений Dl. Решение получить в буквенных выражениях.

Решение.

1. Нумеруем характерные сечения. Отбросим левую и правую заделку и заменим их действие неизвестными силами Х₁ и Х₄ (рис. 3.25б).

2. Запишем уравнение равновесия:

SX=-X₁-4q 2a+qa+X₄=0, или:

X₄–X₁=7qa (1)

Задача один раз статически неопределима, так число уравнений равновесия на единицу меньше числа неизвестных.

3.Запишем выражение нормальных сил N на каждом участке, последовательно отсекая сечения от начала участка, начиная от левой заделки.

N_1-2(x)=X₁+4qx,

N_2-3(x)=X₁+4q2a-qx,

N_3-4(x)=X₁+4q 2a-qa=X₁+7qa

4. Учитывая, что смещение заделок относительно друг друга равно нулю, запишем уравнение совместимости деформаций:

Dl_1-4=0, или

Dl_1-2+Dl_2-3+Dl_3-4=0

По закону Гука удлинение каждого участка стержня имеет вид:

Dl_1-2= =(a/EF)(X₁+4qa)

Dl_2-3=

Dl_3-4=

Следовательно, уравнение совместимости примет вид:

, или

(2)

Решая уравнения 1 и 2 совместно, получим:

X₁=

X₄=

Рисунок 3.25

5.Запишем выражения нормальных сил, подставив значение Х₁:

N_1-2(x) = +4qx N₁(0)= , N₂(2a)=

N_2-3(x)= +4q 2a-qx, N₂(0)= , N₃(a)=

N_3-4(x)= +7qa=

Строим эпюру N (рис. 3.25в).

6. Запишем выражения нормальных напряжений:

s_1-2(x)= ( +4qx), s₁(0)= , s₂(2a)=

s_2-3(x)= ( +4q 2a-qx), s₂(0)= s₃(a)=

s_3-4(x)=

Строим эпюру s (рис. 3.25г).

7.Запишем выражения относительных деформаций:

e_1-2(x)= ( +4qx), e₁(0)= , e₂(2a)=

e_2-3(x)= ( +4q 2a-qx), ε₂(0)= ε₃(a)= )

e_3-4(x)=

Строим эпюру e (рис. 3.25д).

8. Запишем выражения перемещений сечений:

Dl_1-2(x)= =

Dl₁(0)=0, Dl₂(2a)= ;

Dl_2-3(x)= + = ,

Dl₂(0)= , Dl₃(a)= ;

Dl_3-4(x)= + = ,

Dl₃(0)=, Dl₄(a)=0.

Строим эпюру Dl (рис. 3.25е).

Вычислим значение экстремума на эпюре Dl:

e_1-2(x)= ( +4qx_max)=0, откуда

x_max=81/56a, тогда

Dl_1-2(x_max)= = .

Date: 2015-12-13; view: 523; Нарушение авторских прав