Чистый сдвиг

Деформация прямоугольного элемента, по граням которого действуют только касательные напряжения, называют чистым сдвигом. Такой вид деформирования возникает при кручении круглого тонкостенного стержня (рис. 3.29а).

Рисунок 3.29

Рассмотрим деформацию прямоугольного элемента (рис.3.29б), вырезанного из стержня при действии крутящего момента M_x. В силу малости размеров, выделенный элемент можно рассматривать как прямоугольник до деформирования и как параллелограмм после деформирования. По граням выделенного элемента будут действовать касательные напряжения t₁, t₂, t₃, t₄. Запишем уравнение равновесия:

Sx = t₄ t dx - t₂ t dx = 0

Sy = t₁ t (d/2 dj) - t₃ t (d/2 dj) = 0

Smom₀ = t₃ t (d/2 dj) dx - t₂ t dx (d/2 dj) = 0, откуда

t₁ = t₂ = t₃ = t₄

Следовательно, касательные напряжения на взаимно ортогональных площадках равны по абсолютной величине и направлены либо в сторону линии пересечения площадок, либо от неё. Равенство касательных напряжений на взаимно ортогональных гранях носит название закона парности касательных напряжений. В результате деформирования прямоугольный элемент превращается в параллелепипед. Все прямые углы изменятся на одну и ту же величину угла сдвига g. Если материал подчиняется закону Гука, то существует прямо пропорциональная зависимость между касательными напряжениями t и углом сдвига g:

t = G g, где

G - упругая постоянная материала, называемая модулем сдвига.

Рассмотрим, как при чистом сдвиге изменяется напряжение на произвольно ориентированной площадке (рис. 3.30а).

Рисунок 3.30

Выделим из пластины единичной толщины, находящейся в состоянии чистого сдвига, элементарную трехгранную призму АВС (рис. 3.30б). На гранях АВ и АС по условию действуют касательные напряжения t, а на грани ВС со стороны отброшенной части действуют нормальные s_a и касательные напряжения t_a. Проецируя все силы на направления n и t, получим:

Sn= s_a l + t (l cosa sina + t (l sina) cosa= 0

St = t_a l + t (l cosa) cosa - t (l sina) sina = 0, откуда:

s_a = t sin2a

t_a = t cos2a

Проанализируем полученные соотношения.

1. При a = 0° и a = 90° напряжения s_a и t_a принимают исходные значения, т.е. s_a = 0, а t_a = t.

2. При a = ±45°, касательные напряжения t_a = 0, а нормальные напряжения s_a = ± t. Это означает, что чистый сдвиг может быть также реализован одновременным растяжением и сжатием по двум взаимно перпендикулярным направлениям (рис. 3.31).

Рисунок 3.31

3. Возведем, правые и левые части соотношений s_a и t_a в квадрат и просуммируем два уравнения, получим:

s_a² + t_a² = t²

Полученное уравнение описывает окружность радиусом t в координатах «s_a-t_a» т.е. является кругом Мора для чистого сдвига (рис. 3.32).

Рисунок 3.32

3.1.1. Связь между упругими константами материала E, G, и m при чистом сдвиге

Рассмотрим чистый сдвиг элемента в форме квадрата (рис. 3.33).

Рисунок 3.33

Из прямоугольного треугольника OA₁B₁ запишем:

tg(p/4-g/2) = OA₁/OB₁

Удлинение стороны OB₁ и укорочение стороны OA₁ определим из соотношений:

e_y = (OA₁ – OA) / OA

e_x = (OB₁ – OB) / OB, откуда

OA₁ = OA (1 + e_y),

OB₁ = Ob (1 + e_x).

При OA = OB можем записать:

tg(p/4-g/2) = (1 + e_y) / (1 + e_x) (1)

Замечая, что в силу малости угла g:

tg(p/4-g/2) = (tg(p/4) - tg(g/2))/(1 + tg(p/4) tg(g/2))»(1 - g/2) / (1 + g/2),

а также учитывая, что при s_x = s_y = t, по закону Гука для двухосного напряженного состояния:

e_x = -e_y = t / E + m (t / E) = t (1 + m) / E,

тогда соотношение (1) примет вид:

(1 - g/2) / (1 + g/2) = (1 - t (1 + m) / E) / (1 + t (1 + m) / E), откуда

g = 2t (1 + m) / E.

Так как при сдвиге t = Gg, получим:

G = E / 2(1 + m)

Для большинства металлических материалов коэффициент Пуассона m≈ 0,3, следовательно, G ≈ E / 2,6.