Подключение источника гармонического напряжения к последовательной RL-цепи

Рассмотрим переходные процессы в последовательной RL – цепи (рис. 9.4), содержащей идеализированный источник, ЭДС которого e(t) изменяется во времени по закону

(9.17)

Временная диаграмма e(t) при ψ > 0 приведена на рис. 9.5, а. Ток индуктивности в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, i_L(0_-) = 0.

Рис. 9.4. Последовательная RL-цепь

Рис. 9.5. К исследованию переходных процессов при включении источника гармонического напряжения в последовательную RL-цепь. а - воздействие, б - реакция цепи

Дифференциальное уравнение цепи, составленное относительно тока i = i_L, при t ³ 0 имеет вид

Принужденная составляющая тока может быть найдена с помощью метода комплексных амплитуд

где z, - модуль и аргумент комплексного входного сопротивления рассматриваемой цепи:

j= arctg(wL/R).

Характеристическое уравнение цепи

L_P +R = 0

имеет единственный корень p₁ = - R/L, поэтому свободная составляющая тока содержит один экспоненциальный член

где t_L = L/R - постоянная времени последовательной RL - цепи.

Суммируя свободную и принужденную составляющие, находим общее решение дифференциального уравнения цепи (9.18) после коммутации:

(9.19)

Для определения постоянной интегрирования А₁ воспользуемся первым законом коммутации, в соответствии с которым начальное значение тока рассматриваемой цепи должно равняться нулю:

i(0₊) = i_L(0₊) = i_L(0_-) = 0

Подставляя (6.20) в выражение (6.19), получаем

Откуда (9.20)

С учетом (9.20) выражение для тока рассматриваемой цепи после коммутации принимает вид

Характер переходных процессов зависит от соотношения между начальной фазой ψ ЭДС. идеализированного источника напряжения и аргументом j входного сопротивления цепи. Если ψ = j ± p/2 то свободная составляющая тока равна нулю. Переходные процессы в цепи в этом случае отсутствуют, т. е. установившийся режим наступает сразу же после коммутации. При ψ = j или ψ = j ± p начальные значения свободной и принужденной составляющих максимальны, и отличие в форме кривых i = i (t) и i_пр = i_пр(t) выражено наиболее резко (рис. 9.5, б).

Скорость затухания свободной составляющей тока рассматриваемой цепи не зависит от характера внешнего воздействия, а определяется только постоянной времени t_L. За промежуток времени t = t_L свободная составляющая тока уменьшается в е раз и к моменту времени t = (4¸5)t_L после коммутации переходные процессы в цепи можно считать практически закончившимися.