Временные характеристики цепей

К временным характеристикам цепей относятся переходная и импульсная характеристики.

Рассмотрим линейную электрическую цепь, не содержащую независимых источников тока и напряжения.

Пусть внешнее воздействие на цепь представляет собой функцию включения (единичный скачок) x(t) = 1(t - t₀).

Переходной характеристикой h(t - t₀) линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздействие единичного скачка тока или напряжения

Размерность переходной характеристики равна отношению размерности отклика к размерности внешнего воздействия, поэтому переходная характеристика может иметь размерность сопротивления, проводимости или быть безразмерной величиной.

Пусть внешнее воздействие на цепь имеет форму -функции

x(t) = d(t - t₀).

Импульсной характеристикой g (t - t₀) линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется реакция цепи на воздействие в виде -функции при нулевых начальных условиях/

Размерность импульсной характеристики равна отношению размерности отклика цепи к произведению размерности внешнего воздействия на время.

Подобно комплексной частотной и операторной характеристикам цепи, переходная и импульсная характеристики устанавливают связь между внешним воздействием на цепь и ее реакцией, однако в отличие от первых характеристик аргументом последних является время t, а не угловая w или комплексная p частота. Так как характеристики цепи, аргументом которых является время, называются временными, а характеристики, аргументом которых является частота (в том числе и комплексная) - частотными, то переходная и импульсная характеристики относятся к временным характеристикам цепи.

Каждой операторной характеристики цепи H_kn (p) можно поставить в соответствие переходную и импульсную характеристики.

(9.75)

При t₀ = 0 операторные изображения переходной и импульсной характеристик имеют простой вид

(9.76)

Выражения (9.75), (9.76) устанавливают связь между частотными и временными характеристиками цепи. Зная, например, импульсную характеристику можно с помощью прямого преобразования Лапласа найти соответствующую операторную характеристику цепи

а по известной операторной характеристики H_kn(p) с помощью обратного преобразования Лапласа определить импульсную характеристику цепи

Используя выражения (9.75) и теорему дифференцирования (9.36), нетрудно установить связь между переходной и импульсной характеристиками

Если при t = t ₀ функция h(t - t ₀) изменяется скачкообразно, то импульсная характеристика цепи связана с ней следующим соотношением

(9.78)

Выражение (9.78) известно под названием формулы обобщенной производной. Первое слагаемое в этом выражении представляет собой производную переходной характеристики при t > t ₀, а второе слагаемое содержит произведение d-функции на значение переходной характеристики в точке t= t ₀.

Если функция h¹(t - t₀) не претерпевает разрыва при t = t ₀, т. е. значение переходной характеристики в точке t = t₀ равно нулю, то выражение для обобщенной производной совпадает с выражением для обычной производной., импульсная характеристика цепи равна первой производной переходной характеристики по времени

(9.77)

Для определения переходных (импульсных) характеристик линейной цепи применяют два основных способа.

1) Необходимо рассмотреть переходные процессы, имеющие место в данной цепи при воздействии на нее тока или напряжения в виде функции включения или -функции. Это может быть выполнено с помощью классического или операторного методов анализа переходных процессов.

2) На практике для нахождения временных характеристик линейных цепей удобно использовать путь, основанный на применении соотношений, устанавливающих связь между частотными и временными характеристиками. Определение временных характеристик в этом случае начинается с составления операторной схемы замещения цепи для нулевых начальных условий. Далее, используя эту схему, находят операторную характеристику H_kn (p), соответствующую заданной паре: внешнее воздействие на цепь x_n (t) - реакция цепи y_k (t). Зная операторную характеристику цепи и применяя соотношения (6.109) или (6.110), определяют искомые временные характеристики.

Следует обратить внимание, что при качественном рассмотрении реакции линейной цепи на воздействие единичного импульса тока или напряжения переходной процесс в цепи разделяют на два этапа. На первом этапе (при tÎ] t_0-, t₀₊ [) цепь находится под воздействием единичного импульса, сообщающего цепи определенную энергию. Токи индуктивностей и напряжения емкостей при этом скачком изменяются на значение, соответствующее поступившей в цепь энергии, при этом нарушаются законы коммутации. На втором этапе (при t ³ t ₀₊) действие приложенного к цепи внешнего воздействия закончилось (при этом соответствующие источники энергии выключены, т. е. представлены внутренними сопротивлениями), и в цепи возникают свободные процессы, протекающие за счет энергии, запасенной в реактивных элементах на первой стадии переходного процесса. Следовательно, импульсная характеристика характеризует свободные процессы в рассматриваемой цепи.