Равновеликость и равносоставленность

О: Мн/уг-ки, им-щие раные меры площ-ди, наз-ся равнов-ми. Два мн-ка наз-ся равносос-ми, если их можно разбить на попарно равные тр-ки.

Общее св-во всех р/великих фигур наз-ся их площадью.

Если мн-ки равносост-ны, то они р/великие, но не наоборот.

Т: Равносост-ть R, S, T.

Т1: Два парал-ма с равными основ-ми и равными высотами равносост-ны

Рис 6

Д-во: D1=D1', т.к. [AD]=[B'C'], [AE]=[D’C’], ÐA=ÐC’ (по 1 пр-ку),

D2=D2', т.к. [AВ]=[B'Е'], [AE]=[А’В’], ÐВАЕ=ÐА'B'E’ (по 1 пр-ку),

D3=D3', т.к. [B’E’]=[CD], [EC]=[E’D’], (по 1 пр-ку). Парал-м ABCD равносост-н пар-му A'B'C'D'.

Т2: D равносост-н с парал-мом с тем же основ-м и высотой равной половине высоты D.

DАВС q ABCD q A’B’C’D’ ®DABC q  A’B’C’D’.

Т3: Два D-ка равными основ-ми и равными высотами равносост-ны.

Т4: D р/сост. D-ку с задан. стороной и задан. углом, прилежащим к дан. стороне.

Т5: мн/уг-к р/сост. D-ку с задан. стороной и задан. Углом

D1 q D1', D2 q D2', D3 q D3', D4 q D4'

Т6: если мн-ки р/великие, то они равносост-ны.

Д-во: из Т5 Þ сущ-т DАВС q S₁, сущ-т DА’В’С’ q S₂. Р/сот-е фигуры р/великие Þ s_DАВС=s_s1, s_{DА'В’С’}=s_s2Þ s_DАВС=s_{DА'В’С’}.

s_DАВС=1/2AC*BC, s_{DА'В’С’}=1/2A’C’*B’C’. Т.к. [AC]=[A'C'] и s_DАВС=s_{DА'В’С’}, то [BC]=[B'C'], т.к. DАВС=DА'В’С’, то DАВС q DА'В’С’. Т.к. S₂ q DА'В’С’ и S₁ q DАВС, то S₁ q S₂.

О:Два мн/гр-ка наз-ся р/с-ми, если они состоят из попарно равных тетраэдров.

Мн/гр-ки равносост-ны, то р/великие, но не наоборот.

Для р/сост-ти необх-мо вып-е усл-я Дена-Когана: лин. комбинация радианных мер двугран. углов двух мн/гр-в д.б. сравнимы по mod p.

Если это усл- не вып-ся, то мн/гр-ки не р/сост-ны.