Действительные числа. Аксиома непрерывности

В элемент мат изуч действит ч. Сначала в процессе счета возник натур ряд чисел 1, 2, 3,...,n,... В арифм-е вводятся действия слож и умнож над натур ч. Для реш ур-й вида x=b-a приход-ся расшир множ натур ч (N) до целых(Z) (ввести нуль и цел отриц ч). Для реш ур-й вида x=b/a вводятся дроб ч вида p/q, где pÎZ, а qÎN. Множ-а N и Z чисел расшир-я до рац (Q). Но эта система тоже является не полной сист (н-рÖ2). Треб новое расшир-е. Возн идея расшир-я до действ ч, опред-е действ ч на базе сист рац ч. Это м. б. сделано по разному:

1. Н-р, известно построение сист R с пом дедекиндова сеч множ R, а именно разбиения множ Q на два непустых класса А и В из кот одно лежит справа от другого. Граничное число a - действ.

2. По Вейерштрассу действ ч опред-ся с пом монот и огранич послед-й рац ч, в этом случ действ ч - предел этой послед.(x_nÎQ, послед-ть x_n при n®µ сход, limx_n=aÎR)

3. По Кантору: расс-м послед отрезков, влож др в др. Их концыÎQ. Общая т-ка так сист отрезков - действ ч.

Возникает вопр, если сист R постр-а как расшир Q, то будет ли тем самым достигнута лог завершенность, а именно, не появ-ся ли при этом какие-то новые числа? Оказ-ся нет. В этом коренное отличие множ Q и множ R, в этом состоит одно из важнейших св-в, кот носит наз: св-во полноты (замкнутости, непрерывности). Если сист R была получена как расшир сист Q, то это св-во должно быть доказ в виде теор. Однако сущ и друг путь введения чисел системы (множества): аксиомат постр-е числ сист. Опишем кратко суть аксиомат постр мат теории:

1. В нач построен выбир-ся набор первичных объектов (понятий), кот-й стараются сделать по возможности миним-м.

2. Указ первичные св-ва этих пон-й, объектов. Эти св-ва и взаимосвязи наз акс-ми.

3. Фиксир-ся лог правила построен теории.

4. При построен теор всякое пон, не явл-ся первичным, д.б. определено, а всякое предложение, отличное от аксиом, должно быть доказано (или опровергнуто).

К сист акс предъявл треб: непротивор; незав-ть;полнота.

При акс постр сист действ ч описываются не только основн арифм опер, но и св-во полноты (непротивор), кот обычно задается специальными акс-и.

Некот св-ва сист R:

Понятие абсол велич числа. Опр:

1⁰. |x|£LÛ-L<x<L

2⁰. |x|³LÛx³L или x£-L

3⁰. |x+y|£|x|+|y|, абсол велич суммы двух чис не превосх суммы абсол-х велич слагаемых

4⁰. |xy|=|x||y|; |x/y|=|x|/|y|, y¹0

Акс непрер: Если множ всех т разбито на два класса так, что каж из классов не пуст и все т-ки перв класса располож левее всех т втор, то сущ гранич т, кот явл либо самой правой в первом классе, либо самой левой во втором классе.

Огранич и неогранич множ на прямой.

Пусть А={x}-некот множ в R.

О: {x} наз огранич сверху, если сущ такое действ число М, что все числа, являющиеся элементами данного множ, не превосходят М, т.е. x£М. М- верх граница множ А. Если $ m, что все элем множ А удовл нер-ву x£m, то множ-во А наз огранич снизу, m- нижн гран. Огранич множ - одноврем огран сверху и снизу. Числ множ А наз-ся огран, если выполн нерав-во m£x£А, для всех xÎА. Точной верхней границей множ наз-ся наименьш из его верхних границ. Наибольш из всех нижних границ множ наз-ся точной нижней границей.

Другая формулир акс непрер (полноты, замкнутости):

Всякое не пустое огран сверху множ имеет точную верх гран. Всякое не пустое огран снизу множ имеет точную нижн гран.

Если R строилось как расширение сист Q, то это теорема и ее след доказ. Если же R строилось аксиомат-и, то это св-во должно выступать в кач-ве акс (кот м.б. высказана в различн форм-х: по Вейерштрассу, по Кантору, по Дедекинду).