Ф-ии. Их простейшие классификации

Пусть дано некот. числ. мн-во Х и указан з-н f, по кот. кажд. числу хÎХ ставится в соот-вие единст. число у. Тогда гов-т, что задана ф-ия у=f(x) с обл-тью опр-ния хÎХ. Мн-во У всех зн-й у, для кажд. из кот-х сущ-т по кр. мере одно число х из Х, такое что у=f(x), наз-ся обл-тью измен-я (или знач-й) ф-ии.

Способы задания: аналитич-й, графич-й, табличный, повествовательный (у=[x], х=2,3 у=[2.3]=2, y=[-6.5]=-7)

Если обл-ть опр.ф-ии не указана, то она считается заданной на ее естест-й обл-ти опр-ния, наз-мой обл-тью ее сущ-ния (те х при кот. у=f(x) им. смысл).

Четные и нечет. ф-ии: Мн-во точек х числ. прямой наз-ся симметричным относ. нач. коор-т, если "хÎХ, -хÎХ. Ф-я у=f(x), заданная на мн-ве Х, наз-ся четной, если: 1. мн-во Х симметр-но относ. нач. коор-т, 2. "хÎХ, f(x)=f(-x). (Нечет: f(-x)=-f(x)). График чет. ф-ии симм-н относ. оси Оу, нечет.- нач. коор-т. Сущ-т ф-ии, не явл-ся ни чет, ни нечет. Единст. ф-я чет. и нечет. f(x)º0 при хÎМÍR. Любую ф-ю у=f(x), опр-ю на мн.Х, симм-ном относ. нач. коор-т, можно предст-ть в виде суммы ф-й g(x) и h(x), кажд. из кот. опр-на на том же Х, а именно f(x)=g(x)+h(x), где g(x)- чет., h(x)- нечет. Здесь g(x)=0.5(f(x)+f(-x)), h(x)=0.5(f(x)-f(-x)). Св-ва: 1. если f(x), g(x) – чет. ф-ии, то их сумма, разность, произв-ние и частное – чет. ф-ии на мн-ве Х. 2. если f(x), g(x) – нечет. ф-ии, то их сумма, разность – нечет. ф-ии, произв-ние и частное – чет. ф-ии на мн-ве Х. Сумма двух нечет. ф-й явл-ся нечет. ф-ей, если сумма этих ф-й им. смысл.

Ограниченные ф-ии: Ф-я у=f(x), опр-ная на мн.Х, наз-ся огр-ной снизу, если сущ-т число А такое, что "хÎХ, f(x)³А. Число А наз-ся нижней границей ф-ии f(x) на мн-ве Х. (Верх. аналог-но). Ф-я у=f(x), опр-ная на мн.Х, наз-ся огр-ной на этом мн-ве, если сущ-т полож. число С такое, что "хÎХ, |f(x)|£С. Геом-ки пон-е огр-ти св(сн) означает, что график нах-ся не выше (не ниже) некот. гориз. прямой. Огр-ть ф-ии – внутри некот. гориз. полосы. Ф-я у=f(x), опр-ная на мн.Х, наз-ся огр-ной на этом мн-ве Û огр-на на мн-ве и сверху, и снизу. Св-ва: 1. f(x), g(x) – опр-ны и огр-ны на одном мн-ве Х, то f(x)±g(x), f(x)g(x), |f(x)| также огр-ны на Х. 2. f(x), g(x) – опр-ны на мн-ве Х и ф-я f(x) - огр-на на Х, а g(x) такова, что |g(x)|>M>0, то f(x)/g(x) огр-на на Х. 3. если ф-я f(x) - огр-на, то ф-ии

огр-ны на том же мн-ве, на кот. опр-ны.

Монотонные ф-ии: Ф-я у=f(x), "хÎХ, наз-ся возраст-й на мн.МÍХ, если "х₁, х₂ÎМ, х₁<х₂, вып-ся f(х₁)<f(х₂). Анал-но убыв-щая. Неубыв.- f(х₁)£f(х₂), невозр.- f(х₁)³f(х₂). Если f(x) обладает 1 из этих св-в на мн. МÌХ, то ф-я наз-ся монотонной на М. Если на МÍХ – строго монотонной на М. Св-ва: 1. если f(x)-возр (уб) на М и с=const, то а) f(x)+c – возр (уб), б) сf(x), c>0 возр (уб); в) сf(x), c<0 – уб (возр). 2. если f(x), g(x) – возр (уб), f(x)+g(x) – возр (уб). 3. если f(x), g(x) – возр (уб), неотриц-ые, то f(x)g(x) – возр (уб), если обе отриц-е, то уб (возр). 4. если f(x)– возр (уб), f(x)>0, то 1/f(x) –уб (в), если f(x)<0 возр (уб). 5. f(x)³0 и f(x) – возр (уб), то Öf(x)- возр (уб). 6. если f(x) – возр (уб), то: а) a^f(x)при а>1 возр (уб), при 0<a<1 – уб (возр); б) f(x)>0, log_аf(x) при а>1 возр (уб), при 0<a<1 уб (возр).

Периодические ф-ии: ф-я y=f(x), "хÎХ, наз-ся период-й на Х, если $Т¹0, наз-мое периодом ф-ии f(x), такое, что: 1) х+Т и х-Т принадл-т мн.Х для "хÎХ; 2) "хÎХ, f(x+T)=f(x). Наим-й из полож. периодов (если он сущ-т) дан. ф-ии наз-ся ее главным (основным) периодом. Если f(x)- непр., период-я, и отличная от постоянной, то она им. главный период. Св-ва: 1. "х₀ÎХ, f(x)- период-я, то "х₀+nT ÎХ, nÎZ; 2. Пер. ф-я не м. иметь на своей обл-ти опр-ния конечного числа точек разрыва. 3. Пер. ф-я принимает каждое свое зн-ние в беск. числе точек х, среди кот. есть полож. и отриц. числа, сколь угодно большие по абсол. вел-не. В част-ти, пер. ф-я не м.б. строго монотонной на всей обл-ти опр-ния. 4. если f(x) – пер. ф-я, опр-ная на всей числ. пр., то yр-е f(x+T)=f(x), где Т рассм-ся как неизвестное, х – параметр, имеет по кр. мере 1 полож. реш-е Т=Т₀, удовл-щее этому ур-ю при "х. В част-ти, если для f(x) сущ-т такие х=а и х=b, что yр-я f(a+T)=f(a) и f(b+T)=f(b) не им. общего полож. реш-ния Т=Т₀, то f(x) не явл-ся период. ф-ей. 5. если f(x) с периодом Т гр-на на некот. [a; a+|T|] из обл-ти опр-ния, то она огр-на на всей обл-ти опр-ния. В част-ти, если период. ф-я непр-на на всей числ. пр., то сущ-т число M>0, что |f(x)|£M вып-ся при "х. Непр. и не огр-ная на всей числ. пр. ф-я не будет период-й. 6. пусть f₁(x) и f₂(x) опр-ны на всей числ. пр. и явл-ся период-ми. Если Т₁>0 – период f₁(x), Т₂>0 – период f₂(x), причем Т₁, Т₂ таковы, что Т₁/Т₂ явл-ся рац-м, то ф-я f₁(x)+f₂(x) – период-я. Аналог-но для разности и произв-я двух период-х ф-й, опр-х на R.

Элемент. ф-ии: степен., показ., тригон., логар., обр. триг. и их суперпозиции (операции +, -, *, /, возв. в степень)