Выпуклость графика функции одной переменной. Точки перегиба. Условия выпуклости и существования точки перегиба

Ф-я f(x) определённая на интервале(a;b) называется выпуклой вверх\вниз если точки любой дуги графика ф-ии расположены выше \ниже хорды, стягивающей эту дугу. Иногда выпуклость вверх\вниз наз. выпуклостью\вогнутостью. Точка в которой направление выпуклости меняется на противоположное наз. точкой перегиба. Достаточное условие для перегиба: пусть ф-я f(x) непрерывна в точке x₀ и имеет вторую производную в некоторой окрестности. Тогда, если при переходе ч/з точку x₀ вторая производная меняет знак, то x₀ – точка перегиба. Второе условие: пусть в точке x0 ф-я имеет производные до третьего порядка включительно. План исследования ф-ии с помощью производной: 1. ООФ и ее поведение на границе ООЗ. 2. Особенности ф-ии(четность/нече или периодичность) Чет/нечет и периодичность ф-ии: чет, если 1. множество D(f) симметрично отн 0; 2. для любого x⋲D(f) справедливо равенство f(-x)=f(x). График чет ф-ии симметричен отн оси Oy.

нечет, если 1. множество D(f) симметрично отн 0. 2. для любого x⋲ D(f) справедливо равенство f(-x)=-f(x).График нечет ф-ии симметричен отн начала координат. Ф-я не явл ни чет. ни нечет. наз. ф-ей общего вида. 3. Нули ф-ии 4. Асимптоты ф-ии 5. Экстремумы ф-ии и интервалы монотонности. 6. Точки перегиба и участки выпуклости/вогнутости.

21.Асимптоты: вертикальные, наклонные, горизонтальные.

Асимптотой графика ф-ии называется прямая, расстояние до к-й от точек графика ф-ии стремится к нулю при неограниченном удалении их от начала координат. Вертокальная а. График ф-ии y=f(x) имеет верт ас x=a, если ф-я имеет бесконечный предел слева или справа от точки x=a. Гориз. ас. График ф-ии y=f(x) при x ---∞ имеет гориз ас, если Накл. ас. Если график ф-ии y=f(x) имеет наклонную ас y=kx+b. Когда существуют пределы.

Асимптота – прямая, к которой график приближается, но на бесконечности не пересекает.

Вертикальная: параллельно оси ОУ

Горизонтальная:

Наклонная:

22.Функции двух переменных: область определения, линии уровня.