Степеневі ряди

Ряд

,

(4.3.1)

членами якого є функції від , називається функціональним.

Функціональний ряд називається збіжним в точці , якщо при він перетворюється в збіжний числовий ряд.

Функціональний ряд називається розбіжним в точці , якщо при він перетворюється в розбіжний числовий ряд.

Множина значень , при яких функціональний ряд збігається, називається областю збіжності функціонального ряду.

Функціональні ряди виду

або

,

де – числа.

Для знаходження інтервалів збіжності степеневих рядів звичайно застосовується ознака Даламбера до відповідних рядів, побудованих з абсолютних значень членів досліджуваного ряду.

Дослідження збіжності числових рядів проводиться в такий спосіб:

а) визначають значення , для яких ряд збігається, виходячи з умови

;

б) ряд буде розбігається, якщо

;

в) додатковою перевіркою перевіряють значення , для яких

;

г) остаточно записують інтервал збіжності ряду.

Приклад 4.3.1. Знайти інтервал збіжності ряду .

Розв’язання. Маємо:

, .

Записуємо умову збіжності ,

звідки знаходимо, що , тобто . Останнє можна записати так . Залишається уточнити збіжність ряду в граничних точках, тобто при і .

При одержуємо знакопочерговий числовий ряд який збігається, тому що виконуються обидві умови збіжності з ознаки Лейбніця.

При одержуємо гармонійний ряд який, як уже було доведено, розбігається за інтегральною ознакою Коші. Тому інтервал збіжності досліджуваного ряду має вигляд

.