Розв’язання. в) у випадку, коли обидва добутки і існують і є – матрицями однакового розміру (це можливо тільки при множенні квадратних матриць і одного порядку)

тобто

в) у випадку, коли обидва добутки і існують і є – матрицями однакового розміру (це можливо тільки при множенні квадратних матриць і одного порядку), комутативний закон може не виконуватись, тобто .

Приклад 1.1.3. Знайти добуток матриць і : , .

Розв’язання. ; , тобто .

В окремому випадку комутативний закон справедливий для добутку будь-якої квадратної матриці -го порядку на одиничну матрицю того ж порядку, причому цей добуток дорівнює : . Таким чином, одинична матриця відіграє при множенні матриць ту ж роль, що і число 1 при множенні чисел.

г) добуток двох ненульових матриць може дорівнювати нульовій матриці, тобто з того, що , не слідує, що , або .

Наприклад, ; , але .

Піднесення до степеня. Цілим додатнім ступенем квадратної матриці називається добуток матриць, рівних , тобто

Зауваження. Операція піднесення до степеня визначається тільки для квадратних матриць.

За означенням , .

Приклад 1.1.4. Знайти , де .

Розв’язання. .

Зауваження. З рівності ще не слідує, що .

Транспонування матриці – перехід від матриці до матриці , у якій рядки і стовпці помінялися місцями зі збереженням порядку. Матриця називається транспонованою щодо матриці .

З означення слідує, що якщо матриця має розмір , то транспонована матриця має розмір .

Наприклад, ; .

Властивості операції транспонування:

1)	2)
3)	4)

Визначник – це число, що характеризує квадратну матрицю , і обчислюється за певними правилами. Визначник матриці позначається або .

.

(1.1.2)

Визначник (1.1.2) -го порядку, тут – елемент визначника, де – номер рядка і – номер стовпця в яких перебуває елемент. Елемент , де , розташований на головній діагоналі.

Визначником матриці першого порядку , або визначником першого порядку, називається елемент .

Наприклад, нехай , тоді .

Визначником матриці другого порядку, або визначником другого порядку, називається число, що обчислюється за формулою:

(1.1.3)

Наприклад, нехай , тоді

Визначником матриці третього порядку, або визначником третього порядку, називається число, що обчислюється за формулою:

	(1.1.4)

Мінором елемента матриці -го порядку називається визначник матриці -го порядку, отриманої з матриці викреслюванням -го рядка і -го стовпця.

Наприклад, мінором елемента матриці третього порядку буде:

.

Кожна матриця -го порядку має мінорів -го порядку.

Алгебраїчним доповненням елемента матриці -го порядку називається його мінор, узятий зі знаком : тобто алгебраїчне доповнення збігається з мінором, коли сума номерів рядка і стовпця – парне число, і відрізняється від мінору знаком, коли – непарне число.

Приклад 1.1.5. Знайти алгебраїчні доповнення всіх елементів матриці

.