Точність та чутливість АСР

Призначенням будь-якої АСР є відтворювання сигналу вхідного сигналу завдання та зменшення або повна компенсація дії збурення. В умовах функціонування при детермінованих діях в АСР можна виділити два режими: стаціонарний (усталений) і перехідний. В свою чергу стаціонарний режим може бути статичним або динамічним. Статичний режим характеризується тим, що система знаходиться в стані спокою, не змінюються зовнішні дії та параметри системи. Динамічний стаціонарний режим виникає тоді, коли зовнішні діяння змінюються за усталеним законом і система знаходиться в стані змушеного руху. Цей режим може встановлюватись під впливом детермінованих або випадкових сигналів. Статичні та астатичні системи в цьому режимі мають різні показники якості перехідних процесів.

Статичний режим статичних систем можна визначити за допомогою передаточної функції замкненої системи, наприклад відносно збурення. Регульована координата в цьому випадку визначається так:

(5.25)

В статиці, тобто при р=0, в статичній системі виникає приріст

(5.26)

З аналізу виразу (5.26) можна зробити такі висновки:

- в статичній системі завжди виникає статична похибка (рис.5.11, 1 - аперіодичний процес, 2 - коливальний);

Рис.5.11. Перехідні процеси в статичній системі

- статична похибка залежить від ;

- при збільшенні коефіцієнта передачі регулятора можна значно зменшити , але існує межа – критичне значення , при якому система втрачає стійкість.

Такий аналіз можна виконувати лише після того, коли АСР приведена до одноконтурної, тому що статична система може мати інтегральні ланки, охоплені від’ємним зворотнім зв’язком, що перетворює їх на аперіодичні (статичні). На рис.5.12 показано таке з’єднання, для якого еквівалентна передаточна функція буде:

(5.27)

Рис.5.12. Інтегральна ланка із зворотнім зв’язком

При дії збурення Z відношення:

(5.28)

називається статизмом і показує величину статичного відхилення на одиницю зміни Z. В слідкуючих системах

(5.29)

Якщо в системі діє кілька збурень, то

(5.30)

Статизм, за винятком спеціальних випадків, є небажаним тому, що в цьому випадку неточно підтримується заданий режим: . В більшості випадків приймаються спеціальні заходи для усунення статизму:

- створення такої структури системи, для якої , що можна реалізувати в багатоконтурних системах, наприклад в комбінованій та з додатковими сигналами;

- введення інтегральної ланки, наприклад інтегрального регулятора, тоді:

(5.31)

Таким чином усувається , але це справедливо лише тоді, коли інтегральна ланка знаходиться за межами об’єкта. Якщо ж об’єкт має інтегральну ланку, то статична похибка не усувається:

(5.32)

де: - передаточні функції об’єкта та розімкненої системи, з яких попередньо винесено множник .

Таким чином, астатичною () буде система, в якій інтегральна ланка входить в регулятор або в об’єкт, але при статичному регуляторі і астатичному об’єкті .

Динамічні стаціонарні режими можуть виникати в тих випадках, коли на систему діють сигнали:

- гармонійний, тоді стаціонарний динамічний сигнал визначається частотними характеристиками;

- з постійною швидкістю або з прискоренням .

Для аналізу динамічних стаціонарних режимів в загальному випадку приймається, що зовнішній сигнал змінюється з постійною m-ою похідною, тобто

(5.33)

Тоді:

(5.34)

З аналізу (5.34) видно, що в статичній системі при р=0

(5.35)

при будь-якому значенні . При введенні інтегральних ланок приймемо, що:

- в входить інтегральних ланок;

- в - таких ланок.

Тоді:

(5.36)

В цьому загальному випадку можуть бути такі режими роботи:

- при статичне відхилення ;

- при ;

- при .

Кількість інтегральних ланок в системі визначає її порядок астатизму. При визначенні порядку m збурення (порядку фіксованої похідної) можна зробити такі загальні висновки:

- якщо в передаточній функції об’єкта за каналом збурення немає інтегральних ланок, то , коли порядок астатизму системи вищий порядка діяння;

- має кінцеве значення при рівності цих порядків;

- якщо має інтегруючих ланок, то для отримання таких же результатів порядок астатизму системи необхідно збільшити на .

На рис.5.13 показані амплітудно-частотні характеристики типової системи.

Рис.5.13. Амплітудно-частотні характеристики типової системи: 1 – статичної, 2 – астатичної

Аналізуючи сигнал похибки (рис.5.13,а), можна зробити такі висновки:

- якщо частота зовнішнього сигналу , то амплітуда сигналу похибки мала і система добре виконує функції відтворення та подавлення;

- якщо , то амплітуда сигналу похибки дорівнює амплітуді зовнішнього сигналу, тобто система некорисна. Це пояснюється тим, що система має інерційний об’єкт і не встигає реагувати на високочастотні діяння;

- при амплітуда сигналу похибки навіть більша амплітуди діяння, тобто система може бути шкідливою.

З рис.5.13,б видно, що при значних частотах перешкода гаситься за рахунок інерційності об’єкта та регулятора.

При малих частотах , тому

(5.37)

При великих частотах , тому

(5.38)

Наближені співвідношення (5.39) і (5.40) можна використати для вибору форми та розташування за відомою частотою зовнішнього сигналу та максимальною допустимою амплітудою сигналу похибки. Різні регулятори функціонують в залежності від частоти по-різному:

- збільшення коефіцієнта передачі К_рег пропорційного регулятора підвищує точність на низьких частотах, але збільшує коливальність системи;

- введення інтегральної складової зменшує похибку на низьких частотах, зсуває резонансний пік в сторону низьких частот та збільшує коливальність системи;

- введення D-складової зсуває резонансний пік в сторону високих частот і збільшує точність системи на низьких частотах.

Як і в інших випадках, при гармонійних діях точність системи покращується при збільшенні коефіцієнта передачі системи (в тому числі регулятора), але необхідно враховувати обмеження щодо стійкості системи.

Для безпосередньої оцінки якості системи в задачах аналізу та синтезу АСР необхідно отримати перехідні процеси при дії різних зовнішніх сигналів. Для цього використовуються: аналітичні методи розв’язання диференціальних рівнянь системи; графо-аналітичні методи на основі частотних характеристик; методи чисельного інтегрування та комп’ютерного моделювання. Найбільш зручним і наочним є, безумовно, останні методи, в яких використовуються програмний засіб MATLAB з широкими функціональними можливостями та SIAM, призначений для структурного моделювання АСР.

Графо-аналітичний метод побудови перехідних процесів заснований на використанні дійсної частотної характеристики замкненої системи , з якою перехідна функція зв’язана відомою залежністю:

(5.39)

Безпосередньо вираз (5.41) використовувати не зручно, тому розроблено графо-аналітичний метод, який дістав назву трапецеїдальних частотних характеристик. Графік частотної характеристики замінюється сумою типових трапецеїдальних характеристик (рис.5.14), кожній з яких відповідає певна складова перехідного процесу. За коефіцієнтом нахил æ=ω₁/ ω₂ за таблицями знаходять значення h_æ , де - відносний час. Перехідний процес в системі буде сумою складових h_æ .

Рис. 5.14. Типова трапецеїдальна дійсна частотна характеристика

В реальних системах автоматичного регулювання завжди є параметри, які змінюються в процесі роботи. Це стосується в першу чергу змін параметрів об’єкта, наприклад коефіцієнтів тепло- та масообміну, що приводить до того, що реальні перехідні процеси відрізняються від розрахункових. Вплив варіацій параметрів на характеристики системи називають параметричними збуреннями, які приводять до параметричних похибок. Змінювання властивостей системи (вихідних змінних, координат стану, показників якості перехідних процесів) при відхиленні параметрів системи від розрахункових, початкових значень називають чутливістю системи. Реальні системи повинні зберігати свої властивості при параметричних збуреннях, бути “грубими” (робастними). Кільнісною оцінкою чутливості є функції та коефіцієнти чутливості.

Функція чутливості – частинна похідна характеристики системи за одним із змінюваних параметрів. Наприклад, якщо передаточна функція системи залежить від коефіцієнта К_і, то функція чутливості буде:

, (5.40)

де: - розрахункове (початкове) значення .

Використовується також відносна функція чутливості:

(5.41)

З виразу (5.42) отримують так звану додаткову передаточну функцію

(5.42)

При дії ступінчастого координатного збурення додатковій передаточній функції (5.44) віповідає додатковий перехідний процес

(5.43)

де: - функція чутливості перехідної характеристики h(t) до параметра .

Наведені математичні залежності приводять до висновку: чим менше значення функції чутливості (більш груба система), тим менше відхилення регульованої координати, тобто краща якість системи. Якщо функція чутливості – комплексне число, то її значення оцінюють за модулем.

Для АСР відносна функція чутливості при використанні передаточної функції відносно зміни завдання приводить до виразу:

, (5.44)

тобто чутливість типової АСР до зміни властивостей об’єкта (коефіцієнта К_ок) повністю визначається властивостями розімкненої системи . Якщо передаточні функція залежить від кількох параметрів, то додаткову передаточну функцію можна визначити, застосувавши принцип суперпозиції:

, (5.45)

а відповідний додатковий перехідний процес

(5.46)

Функції чутливості є основною для оцінки необхідності розробки та ефективності адаптивних систем.

[1, c.102-126; 2, c.193-225]

Контрольні питання

1. Які прямі показники якості перехідних процесів використовуються для характеристики АСР?

2. Охарактеризуйте типові перехідні процеси.

3. Як впливає коефіцієнт передачі системи на якість перехідних процесів?

4. В чому полягає методика використання частотних показників якості?

5. Як на основі дійсної частотної характеристики системи визначити якість перехідних процесів?

6. Наведіть приклади кореневих критеріїв якості: тривалості та коливальності перехідних процесів.

7. Як використовуються кореневі критерії якості в задачах аналізу та синтезу АСР?

8. Прокоментуйте діаграму І.О.Вишнеградського.

9. Охарактеризуйте інтегральні критерії якості та область їх застосування.

10. Наведіть математичні залежності для оцінки статичного режиму статичних систем.

11. Наведіть оцінки точності астатичних систем.

12. Охарактеризуйте динамічні стаціонарні режими АСР.

13. Як оцінюється точність АСР при гармонійних зовнішніх діях?

14. Які методи використовуються для побудови перехідних процесів?

15. Що таке чутливість АСР? Наведіть приклади функцій чутливості.

Date: 2016-02-19; view: 593; Нарушение авторских прав