Область стійкості. Запас стійкості

Реальні системи повинні бути не лише стійкими, а й забезпечувати запас стійкості, тобто зберігати стійкість при змінюваних умовах роботи та параметрів системи. Фактично це означає, що система за своїми властивостями повинна бути на певній відстані від межі стійкості. Запас стійкості встановлюється в зв’язку з тим, що:

- розрахунок системи приводиться з використанням спрощених, ідеалізованих моделей, які не враховують ряд факторів, важливих для роботи системи;

- проводиться лінеаризація математичних залежностей, а саме нелінійності відіграють суттєву роль при роботі системи;

- параметри окремих елементів, особливо об’єкта, можуть значно змінюватись в процесі роботи, наприклад коефіцієнти теплопередачі.

Наведені фактори приводять до того, що стійка системи за розрахунками при практичному використанні може виявитись нестійкою.

Запас стійкості можна оцінювати за розташуванням коренів характеристичного рівняння на комплексній площині: чим далі вліво від уявної осі будуть розташовані корені, тим більшим буде запас стійкості. Для оцінки запасу стійкості можна використовувати і частотний критерій Найквіста, а саме – за віддаленням АФХ розімкненої системи від “небезпечної” точки (-1; j0) на комплексній площині. Кількісно оцінюють запас стійкості системи за амплітудою (модулем) та фазою. Запас стійкості за амплітудою (модулем) показує, на скільки можна збільшити коефіцієнт передачі системи, щоб вона вийшла на межу стійкості. При розрахунках цей запас береться подвійним. Запас стійкості по фазі показує, на скільки повинно зрости запізнювання на частоті зрізу , щоб система вийшла на межу стійкості. При розрахунках приймається запас по фазі .

При створенні та експлуатації автоматичних систем часто необхідно визначати вплив змінюваних параметрів системи на стійкість. Область стійкості будується в координатах, якими є змінювані параметри і виділяє простір, в кожній точці якого система стійка. Лінія або поверхня, які обмежують область стійкості, є межею області. Коли змінюваних параметрів два, наприклад K_рег і T_i для ПІ-регулятора, тоді область стійкості виділяється на площині K_рег -T_i. Для позначення області стійкості лінія (межа стійкості) штрихується, при цьому штриховка направляється всередину області. Межа області може будуватись шляхом багатократного застосування одного з критеріїв стійкості при різних значеннях змінюваних параметрів.

Розглянемо приклад побудови області стійкості для статичної системи третього порядка, передаточна функція якої задана у вигляді:

, (4.28)

що відповідає трьом послідовно з’єднаним аперіодичним ланкам з коефіцієнтами передачі K_i та постійними часу Т_і, . Характеристичний поліном системи приймає вигляд:

(4.29)

або: , (4.30)

де: (4.31)

Позначимо: , (4.32)

– коефіцієнт передачі системи.

Для визначення області та межі стійкості можна застосувати алгебраїчний критерій Рауса-Гурвиця, тоді умовою стійкості буде:

(4.33)

(4.34)

(4.35)

(4.36)

Будемо вважати, що змінюваними параметрами є Т₁ та К, тоді область стійкості будується в площині цих параметрів (рис.4.7).

Рис.4.7. Область стійкості системи

Рівняння (4.33) (4.35) не мають особливої цінності, тому що в реальних системах завжди розглядаються додатні значення Т₁,Т₂,Т₃. Рівняння (4.36) показує, що К за абсолютним значенням повинно бути менше одиниці, тобто система втратить стійкість при наявності додатного, а не від’ємного зворотнього зв’язку. Коли К зростає, система також виходить на межу стійкості, а потім стає нестійкою, що видно з виразу для визначника :

(4.37)

З цього виразу можна отримати значення критичного коефіцієнта передачі системи:

(4.38)

Для стійкої системи К<К_крит. Межа 1 для області стійкості (рис.4.7) відповідає умові (4.38) для різних значень змінюваного параметра Т₁, при яких К=К_кр. Межа 2 відповідає умові

(4.39)

Межа 3 відповідає умові Т₁=0.

Необхідно підкреслити ще раз, що збільшення коефіцієнта передачі системи підвищує її точність, але може привести до втрати стійкості. Цікавою особливістю є те, що критичне значення коефіцієнта передачі К_кр не залежить від абсолютних значень постійних часу, а визначається лише їх відношенням (вираз (4.36)).

[1, c.82-100; 2, c.140-187]

Контрольні запитання

1. Дайте визначення поняття “ стійка автоматична система регулювання”.

2. Зобразіть перехідні процеси для стійкої, нестійкої системи та знаходження її на межі стійкості.

3. Що таке вільний (перехідний) та змушений рух системи?

4. Проведіть аналіз характеристичного рівняння системи. Поясніть, чому дійсні корені цього рівняння повинні бути від’ємними для забезпечення стійкості?

5. Покажіть розташування коренів характеристичного рівняння на комплексній площині.

6. Як тримати характеристичне рівняння системи за її передаточними функціями?

7. Наведіть формулювання алгебраїчного критерія стійкості Рауса-Гурвиця.

8. Визначте умови стійкості системи 1-го, 2-го, 3-го порядків на основі критерія Рауса-Гурвиця.

9. Сформулюйте частотний критерій стійкості Найквіста.

10. Покажіть годограф для статичних та астатичних систем при використанні критерія Найквіста.

11. Наведіть формулювання та математичні залежності для частотного критерія стійкості Михайлова.

12. Як використовуються логарифмічні частотні характеристики для оцінки стійкості АСР?

13. Що таке області стійкості, від чого залежать їх розміри?

14. Чому необхідно забезпечувати запас стійкості АСР? Які показники запасу стійкості?

15. Що таке критичне значення коефіцієнта передачі системи. Наведіть приклад.

16. Наведіть приклад побудови області стійкості для системи 3-го порядка.

17. Що таке D-розбиття і як цей метод використовується при побудові областей стійкості.

18. Наведіть приклад структурно нестійкої системи.

19. Як впливає значення коефіцієнта передачі системи на стійкість?