Структурні схеми та їх перетворення

Структурною схемою автоматичної системи називається умовне графічне зображення її елементів (ланок) та зв’язків між ними з визначенням перетворень сигналів за допомогою передаточних функцій цих елементів. При аналізі структурних схем враховуються лише інформаційні аспекти, в першу чергу напрямок передачі сигналів. На структурних схемах крім динамічних ланок з фіксованими виходами та входами, зображаються також суматори або елементи порівняння кількох сигналів та вузли (точки розгалуження сигналів). В задачах аналізу та синтезу АСР структурні схеми приводять до зручного виду за рахунок перетворень, для чого існують певні правила. В основі цих перетворень лежить фундаментальне правило: вихід елемента – відображення входу за допомогою передаточної функції, тобто x(p) = W(p)*U(p).

В структурних схемах зустрічаються типові з’єднання, для яких відомі вирази еквівалентних передаточних функцій. При послідовному з’єднанні елементів (рис.3.1.) вихідного попереднього є входом наступного і сигнал передається в одному напрямі.

Рис. 3.1. Послідовне з’єднання елементів

Еквівалентна передаточна функція отримується з очевидних залежностей:

X₁(p) = W₁(p)*U(p), (3.1)

X₂(p) = X₁(p)*W₂(p) = W₁(p)*W₂(p)*U(p) (3.2)

(3.3)

(3.4)

Таким чином, для послідовного з’єднання елементів еквівалентна передаточна функція – добуток передаточних функцій цих елементів. При дослідженні статичного режиму загальний коефіцієнт передачі також є добутком коефіцієнтів передачі окремих елементів

(3.5)

При цьому необхідно враховувати, що розмірність К_екв – добуток розмірностей К_і, які повинні визначатись в точках, що відповідають обраному режиму роботи, наприклад в точках лінеаризації статичних характеристик.

При паралельному з’єднанні елементів (рис.3.2) вхідний сигнал поступає одночасно на всі елементи, а вихід системи – сума виходів елементів.

Рис.3.2.Паралельне з’єднання елементів.

Для такого з'єднання справедливі залежності:

(3.8)

Таким чином, в даному випадку еквівалентна передаточна функція – сума передаточних функцій елементів, але додавання сигналів в певній точці можливе за умови, що вони мають одну розмірність, тоді К_і та К_екв також мають одну розмірність.

В автоматичних системах найбільш характерним з’єднанням елементів є зустрічно – паралельне, тобто при наявності зворотнього зв’язку (рис.3.3).

Рис.3.3. Зустрічно-паралельне з’єднання елементів, а – з одиничним

зворотнім зв’язком, б – з елементом в ланцюзі зворотнього

зв’язку.

За знаком зворотній зв’язок може бути від’ємним або додатнім, що показано на вході елемента порівняння ЕП. Для схеми з одиничним зворотнім зв’язком (рис.3.3,а) справедливі залежності:

(3.9)

(3.10)

Після підстановки (3.10) в (3.9) отримуємо:

(3.11)

Перенесемо в ліву частину X(p) (знак при цьому зміниться):

(3.12)

(3.13)

Необхідно звернути увагу на те, що у виразі (3.13) знак “+” відповідає від’ємному зворотньому зв’язку.

Якщо в зворотньому зв’язку є також елемент з передаточною функцією W₂(p) (рис.3.3,б), то це необхідно врахувати у виразі для ∆X(p): (3.14)

Після перетворень отримаємо:

(3.15)

На основі аналізу наведених прикладів можна сформулювати таке правило: при з’єднанні елементів, де використовується зворотній зв’язок, еквівалентна передаточна функція завжди є дробом, в чисельнику якого передаточна функція прямої ланки, а знаменник – одиниця “±” добуток передаточних функцій прямої ланки та зворотнього зв’язку, причому знак “+” відповідає від’ємному зворотньому зв’язку.

Якщо в складі системи немає інтегральних ланок, то в статиці загальний коефіцієнт передачі визначається виразом:

(3.16)

де: К_п, К_зз – відповідно коефіцієнти передачі прямої ланки та зворотнього зв’язку. Розмірність К_екв відповідає розмірності К_п, а добуток К_п* К_зз завжди безрозмірний. Аналіз виразу (3.16) приводить до таких висновків:

- від’ємний зворотній зв’язок зменшує К_екв, а додатній збільшує (а при К_п*К_зз = 1, К_екв→∞). При К_п*К_зз >1 і додатньому зворотньому зв’язку схема виконує функцію інвертора;

- при К_п*К_зз >>1 значення К_екв практично не залежить від К_п, а визначається зворотнім зв’язком:

(3.17)

Остання залежність широко використовується при конструюванні високостабільних пристроїв, які складаються з елементів із змінюваними коефіцієнтами. Від’ємний зворотній зв’язок зменшує нестабільність елементів.

При необхідності проводять перетворення структурних схем, приводять їх до необхідного виду за рахунок тотожніх змінювань. Це значить, що початкова і кінцева структурні схеми повинні бути тотожніми щодо перетворень сигналів. Таких перетворень може бути необмежена кількість, тому тут наводяться лише деякі загальні правила та характерні приклади.

Перенесення суматора назад чи вперед потребує введення додаткової передаточної функції (показана подвійними лініями) для того, щоб початкова та кінцева схеми були тотожніми (рис.3.4.).

Рис.3.4. Перенесення суматора, а – початкова схема, б – перенесення

суматора назад, в – перенесення суматора вперед.

При перенесеннях, показаних на рис.3.4 б,в необхідно зберегти проходження сигналу f лише через передаточну функцію W₂(p), тобто введення додаткових передаточних функцій дає:

для схеми б):

(3.18)

для схеми в): W₂(p). Ці перетворення стосуються лише сигналу f.

Перенесення точки (вузла) потребують змінювань структурної схеми, які зрозумілі з рис.3.5.

Рис.3.5.Перенесення точки (вузла), а) – початкова схема, б) – перенесення назад, в) – перенесення вперед.

В більш складних структурних схемах часто доводиться проводити їх спрощення за рахунок усунення:

- прямих перехресних зв’язків;

- зворотніх перехресних зв’язків;

- прямих та зворотніх перехресних зв’язків.

Відповідні перетворення наведені на рис.3.6. – 3.8, в результаті отримують структурну схему та відповідні еквівалентні передаточні функції. При перетвореннях структурних схем використовувались правила перенесення точок і суматорів, а також отримання еквівалентних передаточних функцій для типових схем з’єднань елементів.

Рис.3.6.Усунення прямих перехресних зв’язків.

Рис.3.7.Усунення зворотніх перехресних зв’язків.

Рис.3.8.Усунення перехресних прямих і зворотніх зв’язків.

3.2.Структурна схема та передаточні функції типової замкненої автоматичної системи регулювання.

Ця схема є основою для розв’язання різних задач аналізу і синтезу, а її особливістю є те, що на ній вказуються передаточні функції автоматичного регулятора W_рег(p) і об’єкта за каналами проходження сигналу керування W_ок(p) та збурення W_озб(p) (рис.3.9).Інші функціональні елементи (датчики, виконавчі механізми, регулюючі органи) на цій схемі окремо не враховуються.При необхідності вони можуть включатись в схему за допомогою окремих передаточних функцій або приєднуватись до інших елементів, наприклад об’єкта.

Рис.3.9.Структурна схема АСР, а – спрощена, б – з виділенням каналів

керування і збурення для об’єкта.

В розрахунках АСР використовуються такі передаточні функції:

- відносно зміни завдання для регульованої координати: (цю передаточну функцію називають головною для замкненої системи):

(3.19)

- відносно зміни завдання для похибки:

(3.20)

- відносно збурення для регульованої координати:

(3.21)

- відносно збурення для похибки:

(3.22)

Передаточні функції (3.19) – (3.22) виводяться на основі принципу суперпозиції, який справедливий лише для лінійних систем: можна окремо розглядати реакцію системи на один із сигналів, приймаючи інші рівними нулю. Загальна реакція системи буде сумою частинних реакцій. Вирази для відповідних передаточних функцій виводяться на основі залежностей, які характеризують проходження відповідних сигналів через передаточні функції.

Для отримання передаточної функції (3.19) приймаємо Z=0. Тоді:

(3.23)

Позначимо: (3.24)

де W_роз(p) – передаточна функція розімкненої системи;

Запишемо вираз для ΔX = X_зд - X(t): ΔX(p) = X_зд(p) - X(p) (3.25)

і підставимо його в (3.23), тоді з урахуванням (3.24):

(3.26)

звідки:

(3.27) Передаточна функція замкненої системи:

(3.28)

Передаточна функція (3.20) отримується так:

(3.29)

(3.30)

Для отримання передаточних функцій (3.21),(3.22) використовуємо попередні вирази за умови Х_зд(p) = 0. Тоді при дії збурення Z(p) змінювання X(p) буде:

(3.31)

(3.32)

Передаточна функція (3.21) буде:

(3.33)

Передаточна функція системи для похибки виводиться так (при Х_зд(р)=0):

(3.34)

звідки:

(3.35)

Передаточна функція (3.22) буде:

(3.36)

Таким чином всі чотири передаточні функції мають однаковий знаменник, а також всі вони включають передаточні функції об’єкта за різними каналами та автоматичного регулятора. Виходячи з цього, необхідно чітко засвоїти: властивості системи однаково залежать від властивостей як об’єкта, так і автоматичного регулятора, тому в наступних розділах розглядаються характеристики об’єктів та автоматичних регуляторів. Між різними передаточними функціями системи можна виявити такі взаємозв’язки:

(3.37)

На основі принципу суперпозиції для замкненої лінійної АСР можна записати:

(3.38)

(3.39)