Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Диагонализация квадратной матрицы





Рассмотрим случай неособенной модальной матрицы М, так что существует обратная матрица М-1 (это соответствует случаю различных характеристических чисел λi или случаю симметрической матрицы А), при этом решение уравнения

можно записать в следующем виде:

или

Чтобы получить диагональную матрицу Λ, необходимо получить матрицу M-1AM , т.е. осуществить преобразование:

Более высокие степени А приводятся к диагональному виду таким же способом. Например,

Преобразование вида B = Q-1AQ, где А и B – квадратные матрицы, а Q – неособенная квадратная матрица, называется коллинеарным преобразованием, или преобразованием подобия.

Итак, предполагая, что характеристические числа А различные, применим преобразование подобия Λ=М-1АМ, используя модальную матрицу М, к уравнениям состояния и наблюдения линейной стационарной системы в стандартной форме (см. п. 2.4, соответствующая структурная схема приведена на рис. 2.10):

Введя линейное преобразование z = Mq, где М – модальная матрица, подставим его в эти уравнения и получим:

.

Умножение первого уравнения слева на матрицу М-1, обратную модальной, дает:

.

Поскольку М – модальная матрица, то преобразование подобия

М-1АМ приводит к диагональной матрице Λ. Главными диагональными элементами Λ служат характеристические числа λ1, λ2,…,λn. Следовательно,

,

где Λ = М-1АМ, Bn = M-1B, Cn = CM и Dn = D.

Эта форма записи уравнений известна как нормальная форма уравнений состояния. При этом дифференциальные уравнения развязаны относительно переменных состояния q1, q2,…, qn, т.е. они имеют вид:

Пример. Записать уравнения состояния в нормальной форме для динамической системы, структурная схема которой приведена на рис. 2.12.

 

Рис. 2.12. Блок-схема стандартной формы уравнений динамической системы из примера

 

Соответствующая рисунку 2.12 стандартная форма уравнений состояния имеет вид:

Модальные матрицы М и М-1, соответствующие матрице А, а также диагональная матрица Λ = М-1АМ, и прочие B n= M-1B, Cn = CM и Dn = D равны:

Нормальная форма уравнений состояния имеет вид:

где q(t) =М-1z(t) или q1 = 2z1+z2 , q2 = – z1 – z2. Блок-схема этих уравнений показана на рис. 2.13.

 

Рис. 2.13. Блок-схема нормальной формы уравнений динамической системы из примера

 

Вопросы к разделу 2.6

  1. Что такое линейная оболочка?
  2. Что называется базисом линейного векторного пространства?
  3. Какой вектор называется характеристическим?
  4. Каков алгоритм получения характеристического уравнения для матрицы А?
  5. Что называется следом матрицы?
  6. Что позволяет определить формула Бохера?
  7. Почему формула Бохера называется рекуррентной?
  8. Что представляют собой столбцы модальной матрицы?
  9. Из какой матрицы и как выбираются столбцы модальной матрицы при различных характеристических числах?
  10. Что образуют столбцы модальной матрицы в векторном пространстве?
  11. В каком случае модальная матрица не является особенной?
  12. При каком условии можно диагонализировать матрицу А?
  13. Какое преобразование называется коллинеарным?
  14. Что является отличительной чертой нормальной формы уравнений состояния системы?

 

 

Date: 2016-02-19; view: 518; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.005 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию