Характеристические числа и характеристические векторы

От характеристических векторов зависят динамические свойства системы. Рассмотрим векторное уравнение

y = Ax,

где у – вектор входа (n× 1); x – вектор выхода (n× 1); А – квадратная матрица (n×n).

Вопрос о нахождении характеристических значений связан с вопросом: существует ли такой вектор x, который в результате его преобразования с помощью матрицы А переходит в вектор y, имеющий то же направление в пространстве что и вектор x. Если такой вектор x существует, то это значит, что y пропорционален x (рис. 2.11):

y = Ax = λ x,

где λ – скаляр.

Рис. 2.11. Характеристический вектор y = λ x

Перенесем λ x = λ Ex в левую часть:

(λ E – A) x = 0,

где E – единичная матрица.

Это векторно-матричное уравнение можно записать в виде равносильной системы скалярных уравнений, соответствующих строкам матрицы А:

Данная система имеет нетривиальное решение в том случае, если определитель матрицы коэффициентов равен нулю:

Раскрытие данного определителя приводит к характеристическому уравнению:

.

Многочлен n -й степени относительно l называется характеристическим многочленом матрицы А. Корни этого уравнения равны характеристическим (собственным) значениям матрицы А. Особый интерес представляют коэффициенты многочлена а₁ и а_n.

Если положить λ = 0, то:

Представим

и снова положим, что λ = 0. Тогда

,

откуда

Таким образом, произведение характеристических чисел равно определителю матрицы А. В случае равенства нулю какого-нибудь из характеристических чисел матрица А становится особенной (вырожденной).

Раскрывая характеристическое уравнение, записанное в виде произведения сомножителей, можно выразить коэффициенты при различных степенях λ через характеристические числа.

Выразим коэффициент при λ^n-1:

С другой стороны, раскрывая также определитель | λ E – A |, найдем, что коэффициент при λ^n-1 равен со знаком минус сумме диагональных элементов матрицы А:

Таким образом, сумма диагональных элементов квадратной матрицы равна сумме ее характеристических чисел:

Ввиду важности этого свойства сумме диагональных элементов матрицы присвоено особое название: след матрицы. Обозначим след матрицы: