Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Характеристические числа и характеристические векторы
|
|
От характеристических векторов зависят динамические свойства системы. Рассмотрим векторное уравнение
y = Ax,
где у – вектор входа (n× 1); x – вектор выхода (n× 1); А – квадратная матрица (n×n).
Вопрос о нахождении характеристических значений связан с вопросом: существует ли такой вектор x, который в результате его преобразования с помощью матрицы А переходит в вектор y, имеющий то же направление в пространстве что и вектор x. Если такой вектор x существует, то это значит, что y пропорционален x (рис. 2.11):
y = Ax = λ x,
где λ – скаляр.
Рис. 2.11. Характеристический вектор y = λ x
Перенесем λ x = λ Ex в левую часть:
(λ E – A) x = 0,
где E – единичная матрица.
Это векторно-матричное уравнение можно записать в виде равносильной системы скалярных уравнений, соответствующих строкам матрицы А:
Данная система имеет нетривиальное решение в том случае, если определитель матрицы коэффициентов равен нулю:
Раскрытие данного определителя приводит к характеристическому уравнению:
.
Многочлен n -й степени относительно l называется характеристическим многочленом матрицы А. Корни этого уравнения равны характеристическим (собственным) значениям матрицы А. Особый интерес представляют коэффициенты многочлена а1 и аn.
Если положить λ = 0, то:
Представим
и снова положим, что λ = 0. Тогда
,
откуда
Таким образом, произведение характеристических чисел равно определителю матрицы А. В случае равенства нулю какого-нибудь из характеристических чисел матрица А становится особенной (вырожденной).
Раскрывая характеристическое уравнение, записанное в виде произведения сомножителей, можно выразить коэффициенты при различных степенях λ через характеристические числа.
Выразим коэффициент при λn-1:
С другой стороны, раскрывая также определитель | λ E – A |, найдем, что коэффициент при λn-1 равен со знаком минус сумме диагональных элементов матрицы А:
Таким образом, сумма диагональных элементов квадратной матрицы равна сумме ее характеристических чисел:
Ввиду важности этого свойства сумме диагональных элементов матрицы присвоено особое название: след матрицы. Обозначим след матрицы:
Date: 2016-02-19; view: 482; Нарушение авторских прав