Формула полной вероятности

Предположим, что событие A может произойти только с
одним из несовместных событий H₁,H₂, …, H_n, которые называют гипотезами. В этом случае вероятность события A можно представить как сумму произведений событий:

Используя теорему сложения вероятностей несовместных
событий и теорему умножения вероятностей, получаем формулу
полной вероятности:

Пример. В урну, содержащую два шара опущен белый шар. После этого из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о начальном составе шаров (по цвету).

Решение. Обозначим через А событие – извлечен белый шар. Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном составе шаров: H₁ – белых шаров нет, H₂ – один
белый шар, H_n – два белых шара. Поскольку всего имеется три
гипотезы, причем по условию они равновероятны, и сумма
вероятностей гипотез равна единице (так как они образуют полную группу событий), то вероятность каждой из гипотез равна 1/3, т.е. Р(H₁)=Р(H₂)=Р(H₃)=1/3.

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии что в урне первоначально не было белых шаров – Р(А/H₁)=1/3. Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии что в урне первоначально был один белый шар – Р(А/H₂)=2/3. Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии что в урне первоначально было два белых шара – Р(А/H₃)=3/3=1.

Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар,
находим по формуле полной вероятности: