Обоснование задачи сравнения распределений признака

Распределения могут различаться по средним, дисперсиям, асим­метрии, эксцессу и по сочетаниям этих параметров. Рассмотрим не­сколько примеров.

На Рис. 4.1 представлены два распределения признака. Распреде­ление 1 характеризуется меньшим диапазоном вариативности и меньшей дисперсией, чем распределение 2. В распределении 1 чаще встречаются значения признака, близкие к средней, а в распределении 2 чаще встре­чаются более высокие и более низкие, чем средняя, значения признака.

Именно такое соотношение может наблюдаться в распределении фенотипических признаков у мужчин (кривая 2) и женщин (кривая 1). Фенотипическая дисперсия мужского пола должна быть больше, чем женского (Геодакян В.А., 1974; 1993). Мужчины - это авангардная часть популяции, ответственная за поиск новых форм приспособления, поэтому у них чаще встречаются редкие крайние значения различных фенотипических признаков. Эти отклонения, по мнению В.А. Геодакя- на, носят "футуристический” характер, это “пробы”, включающие как

будущие возможные пути эволюции, так и ошибки (Геодакян В.А., 1974, с. 381). В то же время женская часть популяции ответственна за сохранение уже накопленных изменений, поэтому у них чаще встреча­ются средние значения фенотипических признаков.

Анализ реально получаемых в исследованиях распределений мо­жет позволить нам подтвердить или опровергнуть данные теоретические предположения.

На Рис. 4.2 представлены два распределения, различающиеся по знаку асимметрии: распределение 1 характеризуется положительной асимметрией (левосторонней), а распределение 2 -» отрицательной (правосторонней).

Данные кривые могут отражать распределение времени решения простой задачи (кривая 1) и трудной задачи (кривая 2). Простую за­дачу большинство испытуемых решают быстро, поэтому большая часть значений группируется слева. В то же время сама простота задачи мо­жет привести к тому, что некоторые испытуемые будут думать над нею очень, очень долго, дольше даже, чем над сложной. Трудную задачу большинство испытуемых решают в тенденции дольше, чем простую, но в то же время почти всегда находятся люди, которые решают ее мгно­венно.

Если мы докажем, что распределения статистически достоверно различаются, это может стать основой для построения классификаций задач и типологий испытуемых. Например, мы можем выявлять испы­туемых со стандартным соотношением признаков: простую задачу они решают быстро, а трудную - медленно, — и испытуемых с нестандарт­ным соотношением: простую задачу решают медленно, а трудную - бы­ стро и т.п. Далее мы можем сравнить выявленные группы испытуемых по показателям мотивации достижения, так как изве'стно, что лица с преобладанием стремления к успеху предпочитают задачи средней труд­ности, где вероятность успеха примерно 0.5, а лица с преобладанием стремления избегать неудачи предпочитают либо очень легкие, либо, наоборот, очень трудные задачи (McClelland D.C., Winter D.G., 1969). Таким образом, и здесь сопоставление форм распределения мо­жет дать начало научному поиску.

Часто нам бывает полезно также сопоставить полученное эмпи­рическое распределение с теоретическим распределением. Например, для того, чтобы доказать, что оно подчиняется или, наоборот, не под­чиняется нормальному закону распределения. Это лучше делать с по­мощью машинных программ обработки данных, особенно при больших объемах выборок. Подробные программы машинной обработки можно найти, например, в руководстве Э.В. Ивантер и А.В. Коросова (1992).

В практических целях эмпирические распределения должны про­веряться на “нормальность” в тех случаях, когда мы намерены исполь­зовать параметрические методы и критерии. В данном руководстве это относится лишь к методам дисперсионного анализа, поэтому способы проверки совпадения эмпирического распределения с нормальным опи­саны в Главе 7, посвященной однофакторному дисперсионному анализу.

Традиционные для отечественной математической статистики кри­терии определения расхождения или согласия распределений - это метод yf К. Пирсона и критерий X, Колмогорова-Смирнова.

Оба эти метода требуют тщательной группировки данных и до­вольно сложных вычислений. Кроме того, возможности этих критериев в полной мере проявляются на больших выборках (п>30). Тем не ме­нее они могут оказаться столь незаменимыми, что исследователю при­дется пренебречь экономией времени и усилий. Например, они незаме­нимы в следующих двух случаях:

1.44. в задачах, требующих доказательства неслучайности предпочтений в выборе из нескольких альтернатив;

1.45. в задачах, требующих обнаружения точки максимального расхожде­ния между двумя распределениями, которая затем используется для перегруппировки данных с целью применения критерия ф* (углового преобразования Фишера).

Рассмотрим вначале традиционные методы определения расхож­дения распределений, а затем возможности использования критерия ф* Фишера.

18. X² критерия Пирсона

Назначения критерия

Критерий X² применяется в двух целях;

1.46. для сопоставления эмпирическою распределения признака с теоре­тическим - равномерным, нормальным или каким-то иным,

1.47. для сопоставления двух, трех или более эмпирических распределе­ний одного и того же признака*

Описание критерия

Критерий X² отвечает на вопрос о том, с одинаковой ли частотой встречаются разные значения признака в эмпирическом и теоретическом распределениях или в двух и более эмпирических распределениях

Преимущество метода состоит в том, что он позволяет сопостав­лять распределения признаков, представленных в любой шкале, начиная от шкалы наименований (см. п 1 2) В самом простом случае альтерна­тивного распределения “да - нет”, “допустил брак - не допустил бра­ка”, “решил задачу - не решил задачу” и т п мы уже можем приме­нить критерий X²-

Допустим, некий наблюдатель фиксирует количество пешеходов, выбравших правую или левую из двух симметричных дорожек на пути из точки А в точку Б (см Рис 4 3).

[1] На самом деле области применения критерия у} многообразны (см, например: Суходольский Г В, 1972, с 295), но в данном руководстве мы ограничиваемся только этими двумя, наиболее часто встречающимися на практике, целями

При сопоставлении эмпирического распределения с теоретическим мы определяем степень расхождения между эмпирическими и теорети­ческими частотами.

При сопоставлении двух эмпирических распределений мы опреде­ляем степень расхождения между эмпирическими частотами и теорети­ческими частотами, которые наблюдались бы в случае совпадения двух этих эмпирических распределений. Формулы расчета теоретических час­тот будут специально даны для каждого варианта сопоставлений.

Чем больше расхождение между двумя сопоставляемыми распре­делениями, тем больше эмпирическое значение у}.

Г ипотезы

Возможны несколько вариантов гипотез, в зависимости от задач, которые мы перед собой ставим.

Первый вариант:

Hq: Полученное эмпирическое распределение признака не отличается от теоретического (например, равномерного) распределения.

Нр Полученное эмпирическое распределение признака отличается от теоретического распределения.

Второй вариант:

Hq: Эмпирическое распределение 1 не отличается от эмпирического распределения 2.

Hj: Эмпирическое распределение 1 отличается от эмпирического рас­пределения 2.

Третий вариант:

Но: Эмпирические распределения 1, 2, 3,... не различаются между собой. Нр Эмпирические распределения 1, 2, 3,... различаются между собой. Критерий X² позволяет проверить все три варианта гипотез.

Графическое представление критерия

Проиллюстрируем пример с выбором правой или левой дорожек на пути из точки А в точку Б. На Рис. 4.4 частота выбора левой до­рожки представлена левым столбиком, а частота выбора правой дорож­ки - правым столбиком гистограммы.^ На оси ординат отмеряются от­носительные частоты выбора, то есть частоты выбора той или иной до­рожки, отнесенные к общему количеству наблюдений. Для левой до­

Ограничения критерия

1.48. Объем выборки должен быть достаточно большим п> 30. При п<30 критерий X² Дает весьма приближенные значения. Точность крите­рия повышается при больших п.

1.49. Теоретическая частота для каждой ячейки таблицы не должна быть меньше 5: f>5. Это означает, что если число разрядов задано зара­нее и не может быть изменено, то мы не можем применять метод у}, не накопив определенного минимального числа наблюдений. Ес­ли, например, мы хотим проверить паши предположения о том, что частота обращений в телефонную службу Доверия неравномерно распределяются по 7 дням недели, то нам потребуется 5-7=35 обра­щений. Таким образом, если количество разрядов (k) задано зара­нее, как в данном случае, минимальное число наблюдений (n_mm) оп­ределяется по формуле: n_mm-k-5.

У Выбранные разряды должны “вычерпывать” все распределение, то есть охватывать весь диапазон вариативности признаков. При этом группировка на разряды должна быть одинаковой во всех сопостав­ляемых распределениях.

10. Необходимо вносить “поправку на непрерывность” при сопоставле­нии распределений признаков, которые принимают всего 2 значения. При внесении поправки значение X уменьшается (см. Пример с по­правкой на непрерывность).

11. Разряды должны быть неперекрещивающимися: если наблюдение отнесено к одному разряду, то оно уже не может бьпь отнесено ни к какому другому разряду.

Сумма наблюдений по разрядам всегда должна быть равна общему количеству наблюдений.

Правомерен вопрос о том, что считать числом наблюдений - количество выбо­ров, реакций, действий или количество испытуемых, которые совершают выбор, проявляют реакции или производят действия. Если испытуемый проявляет не­сколько реакций, и все они регистрируются, то количество испытуемых не будет совпадать с количеством реакций Мы можем просуммировать реакции каждого испытуемого, как, например, это делается в методике Хекхаузена для исследования мотивации достижения или в Тесте фрустрационной толерантности С Розенцвейга, и сравнивать распределения индивидуальных сумм реакций в нескольких выборках.

Расчет критерия у}

1.50. Занести в таблицу наименования разрядов и соответствующие им эмпирические частоты (первый столбец).

1.51. Рядом с каждой эмпирической частотой записать теоретическую частоту (второй столбец).

1.52. Подсчитать разности между эмпирической и теоретической частотой по каждому разряду (строке) и записать их в третий столбец.

1.53. Определить число степеней свободы по формуле:

V=k~\

где k - количество разрядов признака.

Если V=l, внести поправку на "непрерывность”.

1.54. Возвести в квадрат полученные разности и занести их в четвертый столбец.

1.55. Разделить полученные квадраты разностей на теоретическую часто­ту и записать результаты в пятый столбец.

1.56. Просуммировать значения пятого столбца. Полученную сумму обо­значить как Х²_ЭМп- _

1.57. Определить по Табл. IX Приложения 1 критические значения для данного числа степеней свободы V.

Если Х²эмп меньше критического значения, расхождения между рас­пределениями статистически недостоверны.

Если хЛмп равно критическому значению или превышает его, рас­хождения между распределениями статистически достоверны.