Решение. Разберем преобразования матрицы :

.

Разберем преобразования матрицы :

1) ко второй строке прибавим первую, умноженную на , к третьей строке прибавим первую, умноженную на , к четвертой строке прибавим первую, умноженную на ;

2) разделим все элементы второй строки на , третьей на , четвертой строки на ;

3) к третьей и четвертой строкам прибавим вторую, умноженную на ;

4) вычеркнем третью и четвертую строки, состоящие только из нулей;

В результате данных преобразований остались две различные строки.

В качестве базисного минора возьмем определитель . Его порядок равен двум, а определителей третьего порядка составить уже нельзя, следовательно, .

Вопрос о совместности системы (1) полностью решается следующей теоремой:

Для того, чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен рангу ее расширенной матрицы.

Пусть для системы линейных уравнений с неизвестными выполнено условие совместности т.е.

тогда:

1) если , то система имеет единственное решение;

2) если , то то система имеет бесконечно много решений, а именно, некоторым неизвестным можно придавать произвольные значения, тогда оставшиеся неизвестных определятся уже единственным образом.

Рассмотрим далее некоторые методы решения систем линейных уравнений.