Решение. Введем понятие определителя (или детерминанта) матрицы

1) ,

2) ,

3) .

Введем понятие определителя (или детерминанта) матрицы. Определителем матрицы

порядка называется число , где определитель порядка , полученный из матрицы вычеркиванием первой строки и го столбца. Число называется дополнительным минором элемента .

Применим данное определение к матрицам 2-го и 3-го порядков. Для матрицы имеем

,

где , . Аналогично для матрицы
получим

Заметим, что понятие определителя имеет смысл только для квадратных матриц.

В дальнейшем умение вычислять определители понадобится нам для решения систем линейных уравнений методом Крамера.

Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными :

(1)

Матрица , составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы

, (2)

а матрица

(3)

называется расширенной матрицей системы.

Если , то система (1) называется однородной.

Числа называются решением системы линейных уравнений, если будучи подставлены вместо неизвестных в уравнения, обращают эти уравнения в тождества. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если же система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Введем понятие ранга матрицы.

В матрице размером минор порядка называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка равны нулю или миноров порядка вообще нет.

Рангом матрицы называется порядок базисного минора (обозначение ).

Проще всего находить ранг матрицы и ее базисный минор при помощи элементарных преобразований, к которым относятся:

1) замена строк столбцами, а столбцов - соответствующими строками;

2) перестановка строк матрицы;

3) вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю;

4) умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;

5) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки.

Важное значение имеет теорема: элементарные преобразования не меняют ранг матрицы.

Матрицы, имеющие одинаковый ранг, называются эквивалентными (пишут: ).

Если при помощи нескольких последовательно выполненных элементарных преобразований перейти от матрицы к некоторой другой матрице , то . Вычислив ранг мы тем самым будем знать и ранг . Оказывается, что от любой матрицы можно перейти к такой матрице , вычисление ранга которой не представляет затруднений; для этого следует добиться, чтобы в было достаточно много нулей

. (4)

Матрицы, имеющие вид (4) называются треугольными.

Пример. Найти ранг матрицы .