Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Задание 7. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Канонические уравнения линий второго порядка





 

Краткая теория. Уравнение линии на плоскости. Пусть на плоскости заданы декартова прямоугольная система координат и некоторая линия L. Рассмотрим уравнение (или ), связывающее две переменные величины х и у. Это уравнение называется уравнением линии L (относительно заданной системы координат), если 1) ему удовлетворяют координаты любой точки линии L и 2) ему не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линии L.

Уравнение окружности. Пусть центр окружности радиуса R находится в точке , тогда для любой точки , принадлежащей окружности, выполняется равенство или же , а для точек, не лежащих на окружности, это равенство выполняться не будет. Таким образом, уравнение рассматриваемой окружности имеет вид

.

В частности, уравнение является уравнением окружности радиуса R с центром в начале координат.

Часто используются так называемые параметрические уравнения окружности:

,

(для окружности с центром в начале координат эти уравнения принимают вид , ). При изменении параметра t от 0 до точка (x(t), y(t)) опишет полную окружность.

 

Эллипсом называется линия, для каждой точки которой сумма расстояний до двух фиксированных точек и (фокусов) есть постоянная величина (обозначаемая 2а).

В системе координат, изображенной на рис. 1, уравнение эллипса имеет простейший вид

, (1)

называемый каноническим уравнением (оно получается из равенства ). Здесь абольшая полуось, bмалая полуось эллипса; фокусы и находятся на расстоянии от центра эллипса О (при этом предполагается, что ). Отношение называется эксцентриситетом эллипса (очевидно, ); легко видеть, что . Расстояния от любой точки эллипса до его фокусов и (их называют фокальными радиусами-векторами) определяются по формулам

, . (2)

 

Параметрические уравнения эллипса имеют вид

,

(при изменении параметра t от 0 до точка (x(t), y(t)) описывает полный эллипс).

 

В случае, когда , фокусы эллипса находятся на оси ординат; при этом , .



Гиперболой называется линия, для каждой точки которой абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек и (фокусов) есть постоянная величина (обозначаемая 2а).

В системе координат, изображенной на рис. 2, уравнение гиперболы имеет простейший вид

, (4)

называемый каноническим уравнением (оно получается из равенства ).

Здесь а называется действительной полуосью, bмнимой полуосью гиперболы; фокусы и находятся на расстоянии от центра гиперболы О (при этом а может быть как больше, так и меньше b). Отношение называется эксцентриситетом гиперболы (очевидно, ); легко видеть, что .

 

 

Прямые и называются асимптотами гиперболы; при неограниченном продвижении точки М(х, y) вдоль гиперболы в бесконечность расстояние от М до соответствующей асимптоты стремится к нулю.

Гипербола, у которой , называется равнобочной; её уравнение . У равнобочной гиперболы асимптоты взаимно перпендикулярны, их уравнения и ; если взять эти асимптоты в качестве новых осей координат, то в такой системе координат х'Оу' уравнение такой гиперболы будет иметь вид , т.е. равнобочная гипербола в такой системе координат является графиком обратной пропорциональной зависимости.

 

Параболой называется линия, для каждой точки которой расстояние до фиксированной точки F (фокуса) равно расстоянию до данной прямой, называемой директрисой (прямая l на рис. 3).

 

 

 

 

Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы. Принимая за начало координат середину О отрезка FC (так что ) и располагая оси координат так, как показано на рис. 3, а, приходим к каноническому уравнению параболы: (5)

(оно получается из равенства ).

Парабола на рис. 3, а имеет фокус , а ее директриса описывается уравнением . Расстояние от любой точки параболы до ее фокуса (фокальный радиус-вектор) можно найти по формуле .

Уравнение представляет параболу, для которой ось симметрии совпадает с осью ординат, и парабола расположена так, как показано на рис. 5, б. Ее фокус , а директриса имеет уравнение .

 

Пример выполнения задания 7.Составить уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат и проходящего через точки и .

Решение. Подставляя координаты точек М и N в каноническое уравнение эллипса (1), получим систему двух уравнений для нахождения полуосей а и b:

, .

Из этой системы находим , (таким образом, большая полуось эллипса , а малая полуось ).

Ответ: .

 






Date: 2015-04-23; view: 411; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2020 year. (0.011 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию