Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Задание 2. Умножение матриц





Даны квадратные матрицы и . Найти два произведения AB и BA.

Воспользуемся правилами нелинейных операций:

1). Произведением матрицы А размером (m n) и матрицы B размером (n l) называется матрица С размером (m l), в которой каждый элемент получен путем соответствующего перемножения и сложения элементов i-ой строки матрицы А и столбца матрицы В:

; ,

2). Транспонирование матриц —переход от матрицы к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка: строка №1 становится столбцом №1 и т.д.

Применим правило умножения. Сначала умножим A на B: =

с11 = 1∙0 + 2∙6 = 12.

с12 = 1∙5 + 2∙8 = 21.

с21 = 3∙0 + 4∙6 = 24.

с22 = 3∙5 + 4∙8 = 47.

Получили: .

 

Затем умножим B на A: =

с11 = 0∙1 + 5∙3 = 15.

с12 = 0∙2 + 5∙4 = 20.

с21 = 6∙1 + 8∙3 = 30.

с22 = 6∙2 + 8∙4 = 44.

Получили: .

Таким образом, A B B A.

Ответ: ; ; .

 

Задание 3. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Метод определителей. Матричный метод (с обратной матрицей). Метод исключения неизвестных Гаусса (с расширенной матрицей).

Найти решение системы линейных уравнений AX= B (где A – матрица коэффициентов при неизвестных данной системы уравнений, X – вектор неизвестных, B – столбец свободных членов):

а) систему AX = B1 решить методом определителей по формулам Крамера

для матрицы коэффициентов ; вектор-столбца неизвестных ; свободных членов . Система имеет вид

Найдем главный определитель системы для матрицы А по правилу треугольников (правило Сарруса):

a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a12 a23 a31 - a13 a22 a31 - a12 a21 a33 - a11 a23 a32

Это правило приведено на схеме с учетом знаков + и -:

(+) (-)

или на схеме

 

 

 

Вычислим определитель

Так как то по теореме Крамера система имеет единственное решение.

Вычислим вспомогательные определители , полученные из матрицы A, заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:



 

 

Теперь по формулам Крамера:

; ;

Таким образом неизвестные равны соответствующим значениям матрицы-строки или вектора (-1; 10; 0).

Сделаем проверку, подставив найденные значения в уравнения системы, и увидим, что они обратились в верные равенства:

или (верно).

Ответ: вектор неизвестных (-1; 10; 0) или , ;

 

б) решить систему A X = B1 методом обратной матрицы.

Теорема. Для того чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица A была невырожденной, т. е. чтобы её определитель был отличен от нуля.

 

Запишем систему в виде матричного уравнения: A X = B1, для

, , .

Алгоритм решения матричного уравнения имеет вид:

Чтобы получить вектор неизвестных, необходимо найти обратную матрицу .

Алгоритм получения обратной матрицы:

1. Находим определитель матрицы А.

2. Транспонируем данную матрицу.

.

3. Находим алгебраические дополнения транспонированной матрицы.

вычеркиванием нужной строки № i и столбца № j с учетом знака

,

, ,

, , ,

, , .

4. Составим из них присоединенную матрицу

5. Умножим присоединенную матрицу на , получим .

- это обратная матрица.

6. Можно проверить, выполнив умножение А×А-1 – по определению обратной матрицы должна получиться единичная матрица Е:

 

Для получения неизвестных, необходимо выполнить умножение :

.

Выполнив проверку, делаем вывод, что так как

 

в) A X = B2 решить методом Гаусса;

Решим систему уравнений методом Гаусса для матриц коэффициентов, переменных и свободных членов:

, , .

Составим из них расширенную матрицу - сокращенную запись системы уравнений: .

Цель дальнейших действий – эквивалентными преобразованиями

строк (уравнений) привести расширенную матрицу к треугольному виду.

Так как , то умножим первую строку на ( ) и прибавим ко второй строке, записывая сумму на месте второй строки:

Умножим первую строку на ( ) и прибавим к третьей строке, записывая на месте третьей строки:

. Таким образом, исключена переменная из всех строк, начиная со второй.

Можно третью строку умножить на ¼:

Для исключения переменной из третьей строки, умножим вторую строку на , а третью строку на 7 и сложим, записывая результат на месте третьей строки:

Прямой ход метода Гаусса закончен. Получена система уравнений:

Используя обратный ход метода Гаусса, из третьего уравнения

найдем переменную .

Из второй строки выразим подстановкой

значения . После вычислений получим .

Из первой строки выразим через значения и

и получим =1. Таким образом, решение системы имеет вид (1; 2; 2).

Обычно делают проверку, подставив найденные значения в уравнения системы.

или (верно).

Ответ: (1; 2; 2) или =1, ,

 






Date: 2015-04-23; view: 394; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2020 year. (0.037 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию